log₅(7-x) = log₅(3-x)+1

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим. Для его решения воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Перепишем уравнение, представив 1 как логарифм по основанию 5: \( \log_5(7-x) = \log_5(3-x) + \log_5(5) \)
2. Используя свойство \( \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c) \), приведём правую часть к одному логарифму: \( \log_5(7-x) = \log_5((3-x) \cdot 5) \)
3. Приравняем аргументы логарифмов, так как основания равны: \( 7-x = 5(3-x) \)
4. Решим полученное линейное уравнение: \( 7-x = 15 - 5x \) \( 5x - x = 15 - 7 \) \( 4x = 8 \) \( x = 2 \)
5. Проверим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:
• \( 7-x > 0 \Rightarrow 7 > x \)
• \( 3-x > 0 \Rightarrow 3 > x \)
6. Оба условия выполняются при \( x < 3 \). Так как \( x = 2 \) удовлетворяет условиям \( x < 7 \) и \( x < 3 \), то \( x = 2 \) является решением уравнения.

Ответ: x = 2.