log_{a}(8x^2 - 23x + 15) \(\le\) 0

Решение:

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо учесть два условия:

1. Ограничение на аргумент логарифма: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. \( 8x^2 - 23x + 15 > 0 \).
2. Сравнение с нулем: Учитывая, что правая часть неравенства равна нулю, а основание логарифма \( a \) предполагается большим 1 (обычно подразумевается в таких задачах, если не указано иное), логарифм меньше или равен нулю, когда его аргумент меньше или равен единице. \( 8x^2 - 23x + 15 \le 1 \).

Шаг 1: Решаем квадратное неравенство \( 8x^2 - 23x + 15 > 0 \).

Найдем корни уравнения \( 8x^2 - 23x + 15 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-23)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 15 = 529 - 480 = 49 \).

Корни: \( x_1 = \frac{23 - \sqrt{49}}{2 \cdot 8} = \frac{23 - 7}{16} = \frac{16}{16} = 1 \)

\( x_2 = \frac{23 + \sqrt{49}}{2 \cdot 8} = \frac{23 + 7}{16} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} \).

Так как парабола \( y = 8x^2 - 23x + 15 \) направлена ветвями вверх, неравенство \( 8x^2 - 23x + 15 > 0 \) выполняется при \( x < 1 \) или \( x > \frac{15}{8} \).

Шаг 2: Решаем квадратное неравенство \( 8x^2 - 23x + 15 \le 1 \).

Приведем к виду \( 8x^2 - 23x + 14 \le 0 \).

Найдем корни уравнения \( 8x^2 - 23x + 14 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-23)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 14 = 529 - 448 = 81 \).

Корни: \( x_3 = \frac{23 - \sqrt{81}}{2 \cdot 8} = \frac{23 - 9}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} \)

\( x_4 = \frac{23 + \sqrt{81}}{2 \cdot 8} = \frac{23 + 9}{16} = \frac{32}{16} = 2 \).

Так как парабола \( y = 8x^2 - 23x + 14 \) направлена ветвями вверх, неравенство \( 8x^2 - 23x + 14 \le 0 \) выполняется при \( \frac{7}{8} \le x \le 2 \).

Шаг 3: Находим пересечение решений.

Первое условие: \( x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{15}{8}, \infty) \).

Второе условие: \( x \in [\frac{7}{8}, 2] \).

Пересечение этих интервалов: \( x \in [\frac{7}{8}, 1) \cup (\frac{15}{8}, 2] \).

Примечание: Данное решение предполагает, что основание логарифма \( a > 1 \). Если основание \( 0 < a < 1 \), то знак неравенства при сравнении аргумента с единицей меняется на противоположный.

Ответ: \( x \in [\frac{7}{8}, 1) \cup (\frac{15}{8}, 2] \) (при \( a > 1 \)).