log_a(x+3) >= 3

Решение:

Чтобы решить неравенство \( \log_a(x+3) \ge 3 \), рассмотрим два случая в зависимости от основания логарифма \( a \).

Случай 1: \( a > 1 \)

В этом случае логарифмическая функция возрастает. Чтобы неравенство выполнялось, аргумент логарифма должен быть больше или равен \( a^3 \), и сам аргумент должен быть положительным.

1. \( x+3 > 0 \) \(\implies\) \( x > -3 \)
2. \( x+3 \ge a^3 \) \(\implies\) \( x \ge a^3 - 3 \)

Объединяя оба условия, получаем: \( x \ge a^3 - 3 \).

Случай 2: \( 0 < a < 1 \)

В этом случае логарифмическая функция убывает. Чтобы неравенство выполнялось, аргумент логарифма должен быть меньше или равен \( a^3 \), и сам аргумент должен быть положительным.

1. \( x+3 > 0 \) \(\implies\) \( x > -3 \)
2. \( x+3 \le a^3 \) \(\implies\) \( x \le a^3 - 3 \)

Объединяя оба условия, получаем: \( -3 < x \le a^3 - 3 \).

Ответ: Если \( a > 1 \), то \( x \ge a^3 - 3 \). Если \( 0 < a < 1 \), то \( -3 < x \le a^3 - 3 \).