log base 3 of x + log base x of 3 = 2

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами логарифмов. Известно, что \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \). Применим это свойство ко второму члену уравнения:

\( \log_3 x + \frac{1}{\log_3 x} = 2 \)

Введем замену переменной: пусть \( y = \log_3 x \).

Тогда уравнение примет вид:

\( y + \frac{1}{y} = 2 \)

Умножим обе части уравнения на \( y \) (при условии, что \( y \neq 0 \)):

\( y^2 + 1 = 2y \)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( y^2 - 2y + 1 = 0 \)

Это полный квадрат:

\( (y - 1)^2 = 0 \)

Отсюда следует, что \( y - 1 = 0 \), следовательно, \( y = 1 \).

Теперь вернемся к замене переменной:

\( \log_3 x = 1 \)

По определению логарифма, это означает:

\( x = 3^1 \)

\( x = 3 \)

Проверим условие \( y \neq 0 \). Так как \( y = 1 \), условие выполняется. Также, основание логарифма \( x \) должно быть положительным и не равным 1. В нашем случае \( x = 3 \), что удовлетворяет этим условиям.

Ответ: x = 3.