log base 84 of 168 (given log base 7 of 12 = a and log base 12 of 24 = b).

Решение:

Запишем исходное выражение и используем свойства логарифмов.

Данные:

\( \log_{7}12 = a \)

\( \log_{12}24 = b \)

Найти:

\( \log_{84}168 \)

1. Выразим \( a \) и \( b \) через натуральные логарифмы:

\( a = \frac{\ln 12}{\ln 7} \Rightarrow \ln 12 = a \ln 7 \)

\( b = \frac{\ln 24}{\ln 12} \Rightarrow \ln 24 = b \ln 12 \)

2. Подставим \( \ln 12 \) во второе уравнение:

\( \ln 24 = b (a \ln 7) = ab \ln 7 \)

3. Разложим \( 168 \) и \( 84 \) на простые множители:

\( 168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 \)

\( 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \)

4. Выразим \( \log_{84}168 \) через натуральные логарифмы:

\( \log_{84}168 = \frac{\ln 168}{\ln 84} = \frac{\ln (2^3 \cdot 3 \cdot 7)}{\ln (2^2 \cdot 3 \cdot 7)} = \frac{3\ln 2 + \ln 3 + \ln 7}{2\ln 2 + \ln 3 + \ln 7} \)

5. Используем соотношения для \( \ln 12 \) и \( \ln 24 \):

\( \ln 12 = \ln (2^2 \cdot 3) = 2\ln 2 + \ln 3 \)

\( \ln 24 = \ln (2^3 \cdot 3) = 3\ln 2 + \ln 3 \)

6. Подставим \( \ln 12 = a \ln 7 \) и \( \ln 24 = ab \ln 7 \) в выражения для \( \ln 2 \) и \( \ln 3 \).

Из \( \ln 12 = 2\ln 2 + \ln 3 = a \ln 7 \)

Из \( \ln 24 = 3\ln 2 + \ln 3 = ab \ln 7 \)

Вычтем первое из второго:

\( (3\ln 2 + \ln 3) - (2\ln 2 + \ln 3) = ab \ln 7 - a \ln 7 \)

\( \ln 2 = a(b-1) \ln 7 \)

Подставим \( \ln 2 \) в выражение для \( \ln 12 \):

\( 2a(b-1) \ln 7 + \ln 3 = a \ln 7 \)

\( \ln 3 = a \ln 7 - 2a(b-1) \ln 7 = a \ln 7 (1 - 2(b-1)) = a \ln 7 (1 - 2b + 2) = a \ln 7 (3 - 2b) \)

7. Теперь подставим \( \ln 2 \), \( \ln 3 \) и \( \ln 7 \) в дробь для \( \log_{84}168 \):

\( \log_{84}168 = \frac{3a(b-1)\ln 7 + a(3-2b)\ln 7 + \ln 7}{2a(b-1)\ln 7 + a(3-2b)\ln 7 + \ln 7} \)

Вынесем \( \ln 7 \) за скобки в числителе и знаменателе:

\( \log_{84}168 = \frac{\ln 7 [3a(b-1) + a(3-2b) + 1]}{\ln 7 [2a(b-1) + a(3-2b) + 1]} \)

Сократим \( \ln 7 \):

\( \log_{84}168 = \frac{3ab - 3a + 3a - 2ab + 1}{2ab - 2a + 3a - 2ab + 1} = \frac{ab + 1}{a + 1} \)

Ответ: \( \frac{ab + 1}{a + 1} \).