log extsubscript{3}^2 x - log extsubscript{3} x^3 + 2 = 0

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами логарифмов. Пусть \( y = \log_3 x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y + 2 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его:

1. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \).
2. Найдём корни: \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \).

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) в равенство \( y = \log_3 x \):

• Для \( y_1 = 2 \): \( \log_3 x = 2 \) \( \implies x = 3^2 = 9 \).
• Для \( y_2 = 1 \): \( \log_3 x = 1 \) \( \implies x = 3^1 = 3 \).

Проверка:

• Для \( x = 9 \): \( \log_3^2 9 - \log_3 9^3 + 2 = 2^2 - 3 \log_3 3 + 2 = 4 - 3 \cdot 1 + 2 = 4 - 3 + 2 = 3 \neq 0 \).
• Для \( x = 3 \): \( \log_3^2 3 - \log_3 3^3 + 2 = 1^2 - 3 \log_3 3 + 2 = 1 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \).

Однако, в первой проверке была допущена ошибка. Правильный расчет для x = 9:

\( \log_3^2 9 - \log_3 9^3 + 2 = (\log_3 3^2)^2 - 3 \log_3 9 + 2 = (2 \log_3 3)^2 - 3 (2 \log_3 3) + 2 = (2 \cdot 1)^2 - 3 (2 \cdot 1) + 2 = 2^2 - 6 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 \).

Таким образом, оба корня подходят.

Ответ: x = 3, x = 9.