log_{sqrt(3)}(3*2x) >= 1

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_{\sqrt{3}}(3 \cdot 2x) \ge 1 \) необходимо учесть два условия:

1. Основание логарифма больше единицы: \( \sqrt{3} > 1 \), что верно.
2. Аргумент логарифма положителен: \( 3 \cdot 2x > 0 \).

Выполним преобразования:

1. Из условия \( 3 \cdot 2x > 0 \) следует \( 6x > 0 \), значит \( x > 0 \).
2. Преобразуем неравенство, используя определение логарифма: \( \log_{\sqrt{3}}(6x) \ge 1 \) эквивалентно \( 6x \ge (\sqrt{3})^1 \).
3. \( 6x \ge \sqrt{3} \).
4. \( x \ge \frac{\sqrt{3}}{6} \).

Объединим полученные условия: \( x > 0 \) и \( x \ge \frac{\sqrt{3}}{6} \). Так как \( \frac{\sqrt{3}}{6} \) больше нуля, то решением является \( x \ge \frac{\sqrt{3}}{6} \).

Можно упростить \( \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \).

Ответ: \( x \ge \frac{\sqrt{3}}{6} \)