1) log2 x < 3 2) lg(x + 1) ≤ 2 3) log2(x - 3) + log2(x - 2) ≤ 1

Ответ: 1) x \(\in\) (0; 8); 2) x \(\in\) (-1; 99]; 3) x \(\in\) (3; 4]

Решение:

1) \(\log_2 x < 3\)

ОДЗ: \(x > 0\)

\(\log_2 x < \log_2 8\)

Т.к. основание логарифма больше 1, знак неравенства сохраняется:

\(x < 8\)

Учитывая ОДЗ, получаем:

\(0 < x < 8\)

\(x \in (0; 8)\)

2) \(lg(x + 1) \le 2\)

ОДЗ: \(x + 1 > 0\)

\(x > -1\)

\(lg(x + 1) \le lg 100\)

Т.к. основание логарифма больше 1, знак неравенства сохраняется:

\(x + 1 \le 100\)

\(x \le 99\)

Учитывая ОДЗ, получаем:

\(-1 < x \le 99\)

\(x \in (-1; 99]\)

3) \(\log_2(x - 3) + \log_2(x - 2) \le 1\)

ОДЗ:

\(\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > 3 \\ x > 2 \end{cases}\)

\(x > 3\)

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов:

\(\log_2((x - 3)(x - 2)) \le 1\)

\(\log_2(x^2 - 5x + 6) \le \log_2 2\)

Т.к. основание логарифма больше 1, знак неравенства сохраняется:

\(x^2 - 5x + 6 \le 2\)

\(x^2 - 5x + 4 \le 0\)

Найдем корни квадратного уравнения:

\(x^2 - 5x + 4 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\)

\(x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4\)

\(x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1\)

Тогда неравенство можно записать в виде:

\((x - 1)(x - 4) \le 0\)

Решением данного неравенства является промежуток:

\(1 \le x \le 4\)

Учитывая ОДЗ, получаем:

\(3 < x \le 4\)

\(x \in (3; 4]\)

Ответ: 1) x \(\in\) (0; 8); 2) x \(\in\) (-1; 99]; 3) x \(\in\) (3; 4]