log₃² x - log₃ x³ + 2 = 0

Решение:

1. Обозначим \( y = \log_3 x \). Тогда \( \log_3 x^3 = 3 \log_3 x = 3y \).
2. Подставим \( y \) в исходное уравнение: \( y^2 - 3y + 2 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Разложим на множители: \( (y-1)(y-2) = 0 \).
4. Отсюда получаем два возможных значения для \( y \): \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 2 \).
5. Вернёмся к замене:
• Если \( y = 1 \), то \( \log_3 x = 1 \). Следовательно, \( x = 3^1 = 3 \).
• Если \( y = 2 \), то \( \log_3 x = 2 \). Следовательно, \( x = 3^2 = 9 \).
6. Проверим полученные корни:
• Для \( x = 3 \): \( \log_3^2 3 - \log_3 3^3 + 2 = 1^2 - 3 \cdot \log_3 3 + 2 = 1 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \).
• Для \( x = 9 \): \( \log_3^2 9 - \log_3 9^3 + 2 = 2^2 - 3 \cdot \log_3 9 + 2 = 4 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 \).

Ответ: x = 3, x = 9.