log_x(x^2 - 1) - log_x(x + 1) ____________________ log_{x+3}(2x^2 - 3x + 1) <= 0.

Привет! Давай решим это логарифмическое неравенство вместе!

Сначала упростим числитель, используя свойство логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \):

\( \log_x(x^2 - 1) - \log_x(x + 1) = \log_x \frac{x^2 - 1}{x + 1} \)

Заметим, что \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Поэтому:

\( \log_x \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = \log_x (x - 1) \)

Теперь неравенство выглядит так:

\( \frac{\log_x (x - 1)}{\log_{x+3}(2x^2 - 3x + 1)} \le 0 \)

Для решения логарифмических неравенств нужно учесть область допустимых значений (ОДЗ):

• Аргументы логарифмов должны быть больше нуля:
• \( x^2 - 1 > 0 \implies (x - 1)(x + 1) > 0 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \)
• \( x + 1 > 0 \implies x > -1 \)
• \( 2x^2 - 3x + 1 > 0 \). Найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \): \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \), \( x_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{4} \), \( x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{2} \). Значит, \( 2x^2 - 3x + 1 > 0 \) при \( x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (1, \infty) \)
• Основания логарифмов должны быть больше нуля и не равны единице:
• \( x > 0 \) и \( x \ne 1 \)
• \( x + 3 > 0 \implies x > -3 \) и \( x + 3 \ne 1 \implies x \ne -2 \)

Объединяя все условия, получаем ОДЗ:

\( x \in (1, \infty) \)

Теперь разберем само неравенство \( \frac{\log_x (x - 1)}{\log_{x+3}(2x^2 - 3x + 1)} \le 0 \). Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( \log_x (x - 1) \ge 0 \) и \( \log_{x+3}(2x^2 - 3x + 1) < 0 \)

• \( \log_x (x - 1) \ge 0 \):
• Если \( x > 1 \), то \( x - 1 \ge x^0 = 1 \implies x \ge 2 \).
• \( \log_{x+3}(2x^2 - 3x + 1) < 0 \):
• Так как \( x > 1 \), то \( x + 3 > 4 \), значит основание больше 1. Поэтому \( 0 < 2x^2 - 3x + 1 < (x+3)^0 = 1 \).
• \( 2x^2 - 3x + 1 < 1 \implies 2x^2 - 3x < 0 \implies x(2x - 3) < 0 \implies x \in (0, \frac{3}{2}) \).
• Учитывая ОДЗ \( x > 1 \), получаем \( x \in (1, \frac{3}{2}) \).
• Пересечение условий для случая 1: \( x \in [2, \infty) \cap (1, \frac{3}{2}) = \emptyset \). Этот случай не дает решений.

Случай 2: \( \log_x (x - 1) \le 0 \) и \( \log_{x+3}(2x^2 - 3x + 1) > 0 \)

• \( \log_x (x - 1) \le 0 \):
• Если \( x > 1 \), то \( 0 < x - 1 \le x^0 = 1 \implies 1 < x \le 2 \).
• \( \log_{x+3}(2x^2 - 3x + 1) > 0 \):
• Так как \( x > 1 \), то \( x + 3 > 4 \), значит основание больше 1. Поэтому \( 2x^2 - 3x + 1 > (x+3)^0 = 1 \).
• \( 2x^2 - 3x + 1 > 1 \implies 2x^2 - 3x > 0 \implies x(2x - 3) > 0 \implies x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{3}{2}, \infty) \).
• Учитывая ОДЗ \( x > 1 \), получаем \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \).
• Пересечение условий для случая 2: \( x \in (1, 2] \cap (\frac{3}{2}, \infty) = (\frac{3}{2}, 2] \).

Объединяя решения из обоих случаев, получаем ответ.

Ответ: \( x \in (\frac{3}{2}, 2] \).