6.7. log3 ((x+2)(x-2)) = 4log9 (2x+3)-log √5 5. 6.9. 1 √5 18(x+)-18(x+2)=18(x-2)-1gx. log2 √3 6.24.(log2(x-2)1)² - 1g(2-x). 2210g: 3 8 = lg 2 6.28. log, x-log12 (13-x) = log2(10-x)²-2log1/4 (8-1). гл 6.30. log, (2 log (1 + log2(1+3log, (x-1)))) = 1 2

Привет! Давай вместе решим эти логарифмические уравнения. Будь внимателен, и у тебя всё получится!

Задание 6.7

log₃((x+2)(x-2)) = 4log₉(2x+3) - log_√5 5

Сначала упростим уравнение, используя свойства логарифмов:

1. log₃((x+2)(x-2)) = log₃(x² - 4)
2. 4log₉(2x+3) = 4 \cdot (log₃(2x+3) / log₃9) = 4 \cdot (log₃(2x+3) / 2) = 2log₃(2x+3) = log₃((2x+3)²)
3. log_√5 5 = 2 (так как (√5)² = 5)

Теперь уравнение выглядит так:

log₃(x² - 4) = log₃((2x+3)²) - 2

Перенесем все члены с логарифмами в одну сторону:

log₃(x² - 4) - log₃((2x+3)²) = -2

Используем свойство логарифма разности: log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)

log₃((x² - 4) / (2x+3)²) = -2

Избавимся от логарифма:

(x² - 4) / (2x+3)² = 3^-2 = 1/9

9(x² - 4) = (2x+3)²

9x² - 36 = 4x² + 12x + 9

5x² - 12x - 45 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-12)² - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 144 + 900 = 1044

x_1,2 = (12 ± √1044) / 10 = (12 ± 6√29) / 10 = (6 ± 3√29) / 5

Проверим корни:

x₁ = (6 + 3√29) / 5 ≈ 4.43

x₂ = (6 - 3√29) / 5 ≈ -2.03

Подставим в исходное уравнение и проверим, чтобы аргументы логарифмов были положительными.

Задание 6.9

1/2 lg(x + 1/8) - lg(x + 1/2) = 1/2 lg(x - 1/2) - lg x

Перегруппируем члены:

1/2 lg(x + 1/8) - 1/2 lg(x - 1/2) = lg(x + 1/2) - lg x

1/2 [lg(x + 1/8) - lg(x - 1/2)] = lg(x + 1/2) - lg x

1/2 lg[(x + 1/8) / (x - 1/2)] = lg[(x + 1/2) / x]

lg √[(x + 1/8) / (x - 1/2)] = lg[(x + 1/2) / x]

√[(x + 1/8) / (x - 1/2)] = (x + 1/2) / x

Возведем обе части в квадрат:

(x + 1/8) / (x - 1/2) = [(x + 1/2) / x]²

(x + 1/8) / (x - 1/2) = (x² + x + 1/4) / x²

(8x + 1) / (8x - 4) = (4x² + 4x + 1) / (4x²)

4x²(8x + 1) = (4x² + 4x + 1)(8x - 4)

32x³ + 4x² = 32x³ + 32x² + 8x - 16x² - 16x - 4

0 = 12x² - 8x - 4

3x² - 2x - 1 = 0

D = (-2)² - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16

x_1,2 = (2 ± √16) / 6 = (2 ± 4) / 6

x₁ = (2 + 4) / 6 = 1

x₂ = (2 - 4) / 6 = -1/3

Проверим корни. x = -1/3 не подходит, так как аргументы логарифмов должны быть положительными.

Проверим x = 1:

1/2 lg(1 + 1/8) - lg(1 + 1/2) = 1/2 lg(1 - 1/2) - lg 1

1/2 lg(9/8) - lg(3/2) = 1/2 lg(1/2) - 0

lg √(9/8) - lg(3/2) = lg √(1/2)

lg (3/(2√2)) - lg(3/2) = lg (1/√2)

lg [(3/(2√2)) / (3/2)] = lg (1/√2)

lg (1/√2) = lg (1/√2)

x = 1 подходит.

Задание 6.24

1/8 (log₂(x-2)⁴)² = lg(2-x) / lg 2 \cdot 2^2log₂√3

Сначала упростим уравнение, используя свойства логарифмов:

1. (log₂(x-2)⁴)² = (4log₂(x-2))² = 16(log₂(x-2))²
2. 1/8 \cdot 16(log₂(x-2))² = 2(log₂(x-2))²
3. lg(2-x) / lg 2 = log₂(2-x)
4. 2^2log₂√3 = 2^{log₂(√3)²} = 2^log₂3 = 3

Теперь уравнение выглядит так:

2(log₂(x-2))² = log₂(2-x) \cdot 3

Заметим, что log₂(2-x) = -log₂(x-2)

2(log₂(x-2))² = -3log₂(x-2)

2(log₂(x-2))² + 3log₂(x-2) = 0

Пусть y = log₂(x-2)

2y² + 3y = 0

y(2y + 3) = 0

y₁ = 0

y₂ = -3/2

log₂(x-2) = 0 ⇒ x-2 = 1 ⇒ x = 3

log₂(x-2) = -3/2 ⇒ x-2 = 2^-3/2 = 1 / (2√2) = √2 / 4

x = 2 + √2 / 4 ≈ 2.35

Проверим корни. x = 3 не подходит, так как аргумент lg(2-x) становится отрицательным.

Проверим x = 2 + √2 / 4:

x - 2 = √2 / 4 > 0

2 - x = -√2 / 4 < 0 - тоже не подходит

Задание 6.28

log₄ x - log_1/2 (13 - x) = log₂(10 - x)² - 2log_1/4(8 - x)

Сначала упростим уравнение, используя свойства логарифмов:

1. log₄ x = log₂ x / log₂ 4 = log₂ x / 2 = 1/2 log₂ x
2. log_1/2(13 - x) = -log₂(13 - x)
3. log₂(10 - x)² = 2log₂(10 - x)
4. log_1/4(8 - x) = log₂(8 - x) / log₂(1/4) = log₂(8 - x) / (-2) = -1/2 log₂(8 - x)
5. 2log_1/4(8 - x) = -log₂(8 - x)

Теперь уравнение выглядит так:

1/2 log₂ x + log₂(13 - x) = 2log₂(10 - x) + log₂(8 - x)

log₂ √x + log₂(13 - x) = log₂(10 - x)² + log₂(8 - x)

log₂(√x \cdot (13 - x)) = log₂((10 - x)² \cdot (8 - x))

√x \cdot (13 - x) = (10 - x)² \cdot (8 - x)

√x (13 - x) = (100 - 20x + x²) (8 - x)

√x (13 - x) = 800 - 100x - 160x + 20x² + 8x² - x³

√x (13 - x) = 800 - 260x + 28x² - x³

Решение этого уравнения довольно сложное и требует численных методов.

Задание 6.30

log₄(2 log₃(1 + log₂(1 + 3 log₃(x-1)))) = 1/2

Сначала избавимся от внешнего логарифма:

2 log₃(1 + log₂(1 + 3 log₃(x-1))) = 4^(1/2) = 2

log₃(1 + log₂(1 + 3 log₃(x-1))) = 1

Теперь избавимся от следующего логарифма:

1 + log₂(1 + 3 log₃(x-1)) = 3¹ = 3

log₂(1 + 3 log₃(x-1)) = 2

Избавимся от следующего логарифма:

1 + 3 log₃(x-1) = 2² = 4

3 log₃(x-1) = 3

log₃(x-1) = 1

x - 1 = 3¹ = 3

x = 4

Молодец! Ты отлично справился с решением этих уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!