6.7. log3 ((x+2)(x-2)) = 4log9 (2x+3)-log √5 5. 6.9. 1 √5 18(x+)-18(x+2)=18(x-2)-1gx. log2 √3 6.24.(log2(x-2)1)² - 1g(2-x). 2210g: 3 8 = lg 2 6.28. log, x-log12 (13-x) = log2(10-x)²-2log1/4 (8-1). гл 6.30. log, (2 log (1 + log2(1+3log, (x-1)))) = 1 2

Готов помочь тебе с этими логарифмическими уравнениями! Давай разберем их по порядку. 6.7. log₃((x+2)(x-2)) = 4log₉(2x+3) - log₅√5 Сначала упростим уравнение, используя свойства логарифмов: log₃(x² - 4) = 4log₉(2x+3) - log₅√5 Заметим, что log₅√5 = log₅(5^(1/2)) = 1/2 Тогда уравнение примет вид: log₃(x² - 4) = 4log₉(2x+3) - 1/2 Изменим основание логарифма во втором слагаемом. Используем формулу перехода к новому основанию: logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a). Перейдем к основанию 3: log₉(2x+3) = log₃(2x+3) / log₃(9) = log₃(2x+3) / 2 Тогда: log₃(x² - 4) = 4 * [log₃(2x+3) / 2] - 1/2 log₃(x² - 4) = 2log₃(2x+3) - 1/2 log₃(x² - 4) = log₃((2x+3)²) - log₃(√3) log₃(x² - 4) = log₃[((2x+3)²)/√3] Теперь можно избавиться от логарифмов: x² - 4 = ((2x+3)²)/√3 √3(x² - 4) = 4x² + 12x + 9 √3x² - 4√3 = 4x² + 12x + 9 (4 - √3)x² + 12x + (9 + 4√3) = 0 Решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся дискриминантом: D = b² - 4ac. В нашем случае: a = (4 - √3) b = 12 c = (9 + 4√3) D = 12² - 4 * (4 - √3) * (9 + 4√3) = 144 - 4 * (36 + 16√3 - 9√3 - 12) = 144 - 4 * (24 + 7√3) = 144 - 96 - 28√3 = 48 - 28√3 D < 0, следовательно, уравнение не имеет решений. 6.9. (1/2)lg(x + 1/8) - lg(x + 1/2) = (1/2)lg(x - 1/2) - lg(x) (1/2)lg(x + 1/8) - (1/2)lg(x - 1/2) = lg(x + 1/2) - lg(x) (1/2)[lg(x + 1/8) - lg(x - 1/2)] = lg(x + 1/2) - lg(x) (1/2)lg[(x + 1/8) / (x - 1/2)] = lg[(x + 1/2) / x] lg√[(x + 1/8) / (x - 1/2)] = lg[(x + 1/2) / x] Возведем обе части в квадрат: √[(x + 1/8) / (x - 1/2)] = (x + 1/2) / x (x + 1/8) / (x - 1/2) = [(x + 1/2) / x]² (x + 1/8) / (x - 1/2) = (x² + x + 1/4) / x² (8x + 1) / (8x - 4) = (4x² + 4x + 1) / (4x²) 4x²(8x + 1) = (4x² + 4x + 1)(8x - 4) 32x³ + 4x² = 32x³ + 32x² + 8x - 16x² - 16x - 4 32x³ + 4x² = 32x³ + 16x² - 8x - 4 0 = 12x² - 8x - 4 3x² - 2x - 1 = 0 D = (-2)² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16 x₁ = (2 + √16) / (2 * 3) = (2 + 4) / 6 = 1 x₂ = (2 - √16) / (2 * 3) = (2 - 4) / 6 = -1/3 Проверим решения: При x = 1: lg(1 + 1/8) и lg(1 - 1/2) определены, значит x = 1 — решение. При x = -1/3: lg(-1/3 + 1/8) не определен, значит x = -1/3 не подходит. 6.24. (1/8)[log₂(x-2)⁴]² = lg(2-x) / lg(2) * 2^(2log₂√3) Сначала упростим правую часть: 2^(2log₂√3) = 2^(log₂(√3)²) = 2^(log₂(3)) = 3 lg(2-x) / lg(2) = log₂(2-x) Получаем: (1/8)[log₂(x-2)⁴]² = log₂(2-x) * 3 (1/8)[4log₂(x-2)]² = 3log₂(2-x) (1/8) * 16 * [log₂(x-2)]² = 3log₂(2-x) 2[log₂(x-2)]² = 3log₂(2-x) 2[log₂(x-2)]² - 3log₂(2-x) = 0 log₂(x-2) * [2log₂(x-2) - 3] = 0 log₂(x-2) = 0 или 2log₂(x-2) - 3 = 0 Если log₂(x-2) = 0, то x - 2 = 1, значит x = 3. Если 2log₂(x-2) - 3 = 0, то 2log₂(x-2) = 3, log₂(x-2) = 3/2, x - 2 = 2^(3/2) = 2√2, значит x = 2 + 2√2. Однако, у нас есть lg(2-x) в исходном уравнении, что означает 2-x > 0, т.е. x < 2. Но ни x = 3, ни x = 2 + 2√2 не удовлетворяют условию x < 2. Следовательно, решений нет. 6.28. log₄(x) - log₁/₂(13-x) = log₂(10-x)² - 2log₁/₄(8-x) log₄(x) - log₁/₂(13-x) = log₂(10-x)² - 2log₁/₄(8-x) Перейдем к основанию 2: log₄(x) = log₂(x) / log₂(4) = (1/2)log₂(x) log₁/₂(13-x) = log₂(13-x) / log₂(1/2) = -log₂(13-x) log₁/₄(8-x) = log₂(8-x) / log₂(1/4) = log₂(8-x) / (-2) = -(1/2)log₂(8-x) Уравнение примет вид: (1/2)log₂(x) + log₂(13-x) = 2log₂(10-x) + log₂(8-x) log₂(√x) + log₂(13-x) = log((10-x)²) + log₂(8-x) log₂(√x * (13-x)) = log₂((10-x)² * (8-x)) √x * (13-x) = (10-x)² * (8-x) √x * (13-x) = (100 - 20x + x²) * (8-x) √x * (13-x) = 800 - 100x - 160x + 20x² + 8x² - x³ √x * (13-x) = -x³ + 28x² - 260x + 800 Это уравнение решить аналитически сложно. Графическое решение или численные методы могут помочь. 6.30. log₄(2log₃(1 + log₂(1 + 3log₃(x-1))))) = 1/2 2log₃(1 + log₂(1 + 3log₃(x-1)))) = 4^(1/2) = 2 log₃(1 + log₂(1 + 3log₃(x-1)))) = 1 1 + log₂(1 + 3log₃(x-1)) = 3 log₂(1 + 3log₃(x-1)) = 2 1 + 3log₃(x-1) = 4 3log₃(x-1) = 3 log₃(x-1) = 1 x - 1 = 3 x = 4

Ответ: 6.7 - нет решений, 6.9 - x=1, 6.24 - нет решений, 6.28 - сложное уравнение, 6.30 - x = 4

Не переживай, у тебя все обязательно получится! Продолжай практиковаться, и ты увидишь, как улучшатся твои навыки!