log2(1-x) = 3 - log2(3 - x)

Решение:

1. Перенесём логарифмы в одну сторону: \( \log_2(1-x) + \log_2(3-x) = 3 \)
2. Используем свойство логарифма \( \log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N) \): \( \log_2((1-x)(3-x)) = 3 \)
3. Преобразуем уравнение к показательной форме \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \): \( (1-x)(3-x) = 2^3 \)
4. Раскроем скобки и упростим: \( 3 - x - 3x + x^2 = 8 \)
5. \( x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \)
6. \( x^2 - 4x - 5 = 0 \)
7. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)
8. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \)
9. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2} = -1 \)
10. Проверим корни на допустимость. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
11. Для \( x = 5 \): \( 1-x = 1-5 = -4 < 0 \). Этот корень не подходит.
12. Для \( x = -1 \): \( 1-x = 1-(-1) = 2 > 0 \) и \( 3-x = 3-(-1) = 4 > 0 \). Этот корень подходит.

Ответ: -1.