log49(x + 4) + logx²+8x+16 √7<= -3/4

Преобразование логарифмического неравенства

• Исходное неравенство:\[ \log_{49}(x + 4) + \log_{x^2+8x+16} \sqrt{7} \le -\frac{3}{4} \]
• Область допустимых значений (ОДЗ):
  • \[ x + 4 > 0 \implies x > -4 \]
  • \[ x^2 + 8x + 16 > 0 \implies (x+4)^2 > 0 \implies x
    e -4 \]
  • \[ x^2 + 8x + 16
    e 1 \implies (x+4)^2
    e 1 \implies x+4
    e \pm 1 \implies x
    e -3 \text{ и } x
    e -5 \]
  • Объединяя все условия, получаем:\[ x > -4, x
    e -3 \]
• Преобразуем логарифмы:
  • \[ \log_{49}(x + 4) = \log_{7^2}(x + 4) = \frac{1}{2} \log_7(x + 4) \]
  • \[ \log_{x^2+8x+16} \sqrt{7} = \log_{(x+4)^2} 7^{1/2} = \frac{1/2}{2} \log_7 \sqrt{7} = \frac{1}{4} \log_7 7 = \frac{1}{4} \]
• Подставляем преобразованные выражения в неравенство:\[ \frac{1}{2} \log_7(x + 4) + \frac{1}{4} \le -\frac{3}{4} \]
• Решаем полученное неравенство:
  • \[ \frac{1}{2} \log_7(x + 4) \le -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \]
  • \[ \frac{1}{2} \log_7(x + 4) \le -1 \]
  • \[ \log_7(x + 4) \le -2 \]
  • Переходим к показательной форме (основание логарифма 7 > 1, знак неравенства сохраняется):\[ x + 4 \le 7^{-2} \]
  • \[ x + 4 \le \frac{1}{49} \]
  • \[ x \le \frac{1}{49} - 4 \]
  • \[ x \le \frac{1 - 196}{49} \]
  • \[ x \le -\frac{195}{49} \]
• Учитываем ОДЗ:\[ x > -4 \text{ и } x \le -\frac{195}{49} \]
• Переведем -4 в дробь со знаменателем 49:\[ -4 = -\frac{4 \times 49}{49} = -\frac{196}{49} \]
• Получаем:\[ -\frac{196}{49} < x \le -\frac{195}{49} \]

Ответ:

• \[ \(\left\)( -\(\frac{196}{49}\); -\(\frac{195}{49}\) \(\right\)] \(\right\).