7) $$log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(\frac{10}{7-x})=log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}x$$

Для решения данного логарифмического уравнения необходимо приравнять аргументы логарифмов, так как основания логарифмов одинаковы.

$$\frac{10}{7-x} = x$$

Решим данное уравнение:

• $$10 = x(7-x)$$
• $$10 = 7x - x^2$$
• $$x^2 - 7x + 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 - 7x + 10 = 0$$

Используем формулу для нахождения дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = -7$$, $$c = 10$$.

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня.

Вычислим корни уравнения по формуле: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

• $$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
• $$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Необходимо проверить каждый корень на принадлежность области определения исходного уравнения. В нашем случае, аргументы логарифмов должны быть больше нуля, и знаменатель не должен равняться нулю.

• Проверим $$x_1 = 5$$: $$x_1 > 0$$ (верно, $$5 > 0$$) и $$7 - x_1 > 0$$ ($$7 - 5 = 2 > 0$$). Значит, $$x_1 = 5$$ является корнем уравнения.
• Проверим $$x_2 = 2$$: $$x_2 > 0$$ (верно, $$2 > 0$$) и $$7 - x_2 > 0$$ ($$7 - 2 = 5 > 0$$). Значит, $$x_2 = 2$$ является корнем уравнения.

Ответ: $$x_1 = 5, x_2 = 2$$