Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
log_{a/b} x = \frac{log_a x \cdot log_b x}{log_b x - log_a x}
Ответ:
Краткое пояснение: Формула для вычисления логарифма по основанию a/b через логарифмы по основаниям a и b.
Давай разберем решение этой формулы шаг за шагом:
- Шаг 1: Применим формулу перехода к новому основанию.
Показать пошаговые вычисления
Для начала, преобразуем левую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию логарифма, например, к основанию x:
\[log_{a/b} x = \frac{log_x x}{log_x (a/b)}\]Так как \(log_x x = 1\), получим:
\[log_{a/b} x = \frac{1}{log_x (a/b)}\]Далее, разложим логарифм частного в знаменателе:
\[log_x (a/b) = log_x a - log_x b\]Тогда наше выражение примет вид:
\[log_{a/b} x = \frac{1}{log_x a - log_x b}\]- Шаг 2: Преобразуем правую часть уравнения, используя ту же формулу перехода к новому основанию.
Показать пошаговые вычисления
Теперь преобразуем правую часть исходного уравнения:
\[\frac{log_a x \cdot log_b x}{log_b x - log_a x}\]Используем формулу перехода к новому основанию x для каждого логарифма:
\[log_a x = \frac{log_x x}{log_x a} = \frac{1}{log_x a}\] \[log_b x = \frac{log_x x}{log_x b} = \frac{1}{log_x b}\]Подставим эти выражения в правую часть уравнения:
\[\frac{\frac{1}{log_x a} \cdot \frac{1}{log_x b}}{\frac{1}{log_x b} - \frac{1}{log_x a}}\]Приведем к общему знаменателю в знаменателе:
\[\frac{\frac{1}{log_x a \cdot log_x b}}{\frac{log_x a - log_x b}{log_x a \cdot log_x b}}\]Разделим дроби:
\[\frac{1}{log_x a \cdot log_x b} \cdot \frac{log_x a \cdot log_x b}{log_x a - log_x b}\]Сократим одинаковые множители:
\[\frac{1}{log_x a - log_x b}\]- Шаг 3: Сравним полученные выражения.
Показать пошаговые вычисления
Мы получили, что:
\[log_{a/b} x = \frac{1}{log_x a - log_x b}\]и
\[\frac{log_a x \cdot log_b x}{log_b x - log_a x} = \frac{1}{log_x a - log_x b}\]Таким образом, обе части уравнения равны.
Ответ: log_{a/b} x = \frac{log_a x \cdot log_b x}{log_b x - log_a x}
