§ 45. Логарифмические неравенства Решите неравенство: 45.1. a) log₂ x > 4; б) log₂ x < -3; в) log₂ x < 1/2; г) log₂ x > -1/2; 45.2. a) log₁/₃ x < 2; б) log₁/₂ x > -3; в) log₀,₂ x < 3; г) log₀,₁ x > -1/2; 45.3. a) log₅ (3x + 1) < 2; б) log₀,₅ (x/3) > -2; в) log₁/₅ (1/5) > 1; г) log√₃ (2x - 3) < 4. 45.4. a) log₃ x > log₃ (3x - 4); б) log₀,₆ (2x - 1) < log₀,₆ x; в) log₁/₃ (5x - 9) ≥ log₁/₃ 4x; г) log₃ (8 - 6x) < log₃ 2x. 45.5. a) log₂ (5x - 9) ≤ log₂ (3x + 1); б) log₀,₄ (12x + 2) > log₀,₄ (10x + 16); в) log₁/₃ (-x) > log₁/₃ (4 - 2x); г) log₂,₅ (6 - x) < log₂,₅ (4 - 3x). 45.6. a) log₃ (x² + 6) < log₃ 5x; б) log₀,₆ (6x - x²) > log₀,₆ (-8 - x); в) lg (x² - 8) < lg (2 - 9x); г) log√₂(x² + 10x) ≥ log√₂(x – 14). 45.7. a) log₁/₂ (6 - x) ≥ log₁/₂ x²; б) log₀,₃ (x² + 22) < log₀,₃ 13x; в) log₁/₄ (-x - 6) ≤ log₁/₄ (6 - x²); г) log₀,₅ (x² - 27) > log₀,₅ 6x.

45.1

a) \( \log_2 x > 4 \)
\( x > 2^4 \)
\( x > 16 \)

Ответ: \( x > 16 \)

б) \( \log_2 x < -3 \)
\( x < 2^{-3} \)
\( x < \frac{1}{8} \)

Ответ: \( x < \frac{1}{8} \)

в) \( \log_2 x < \frac{1}{2} \)
\( x < 2^{\frac{1}{2}} \)
\( x < \sqrt{2} \)

Ответ: \( x < \sqrt{2} \)

г) \( \log_2 x > -\frac{1}{2} \)
\( x > 2^{-\frac{1}{2}} \)
\( x > \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Ответ: \( x > \frac{1}{\sqrt{2}} \)

45.2

a) \( \log_{\frac{1}{3}} x < 2 \)
\( x > (\frac{1}{3})^2 \)
\( x > \frac{1}{9} \)

Ответ: \( x > \frac{1}{9} \)

б) \( \log_{\frac{1}{2}} x > -3 \)
\( x < (\frac{1}{2})^{-3} \)
\( x < 8 \)

Ответ: \( x < 8 \)

в) \( \log_{0.2} x < 3 \)
\( x > (0.2)^3 \)
\( x > 0.008 \)

Ответ: \( x > 0.008 \)

г) \( \log_{0.1} x > -\frac{1}{2} \)
\( x < (0.1)^{-\frac{1}{2}} \)
\( x < \frac{1}{\sqrt{0.1}} \)

Ответ: \( x < \frac{1}{\sqrt{0.1}} \)

45.3

a) \( \log_5 (3x + 1) < 2 \)
\( 3x + 1 < 5^2 \)
\( 3x < 24 \)
\( x < 8 \)

Ответ: \( x < 8 \)

б) \( \log_{0.5} (\frac{x}{3}) > -2 \)
\( \frac{x}{3} < (0.5)^{-2} \)
\( \frac{x}{3} < 4 \)
\( x < 12 \)

Ответ: \( x < 12 \)

в) \( \log_{\frac{1}{5}} (\frac{x}{5}) > 1 \)
\( \frac{x}{5} < (\frac{1}{5})^1 \)
\( \frac{x}{5} < \frac{1}{5} \)
\( x < 1 \)

Ответ: \( x < 1 \)

г) \( \log_{\sqrt{3}} (2x - 3) < 4 \)
\( 2x - 3 < (\sqrt{3})^4 \)
\( 2x < 12 \)
\( x < 6 \)

Ответ: \( x < 6 \)

45.4

a) \( \log_3 x > \log_3 (3x - 4) \)
\( x > 3x - 4 \)
\( 4 > 2x \)
\( x < 2 \)

Ответ: \( x < 2 \)

б) \( \log_{0.6} (2x - 1) < \log_{0.6} x \)
\( 2x - 1 > x \)
\( x > 1 \)

Ответ: \( x > 1 \)

в) \( \log_{\frac{1}{3}} (5x - 9) ≥ \log_{\frac{1}{3}} 4x \)
\( 5x - 9 ≤ 4x \)
\( x ≤ 9 \)

Ответ: \( x ≤ 9 \)

г) \( \log_3 (8 - 6x) < \log_3 2x \)
\( 8 - 6x < 2x \)
\( 8 < 8x \)
\( x > 1 \)

Ответ: \( x > 1 \)

45.5

a) \( \log_2 (5x - 9) ≤ \log_2 (3x + 1) \)
\( 5x - 9 ≤ 3x + 1 \)
\( 2x ≤ 10 \)
\( x ≤ 5 \)

Ответ: \( x ≤ 5 \)

б) \( \log_{0.4} (12x + 2) > \log_{0.4} (10x + 16) \)
\( 12x + 2 < 10x + 16 \)
\( 2x < 14 \)
\( x < 7 \)

Ответ: \( x < 7 \)

в) \( \log_{\frac{1}{3}} (-x) > \log_{\frac{1}{3}} (4 - 2x) \)
\( -x < 4 - 2x \)
\( x < 4 \)

Ответ: \( x < 4 \)

г) \( \log_{2.5} (6 - x) < \log_{2.5} (4 - 3x) \)
\( 6 - x < 4 - 3x \)
\( 2 < -2x \)
\( x < -1 \)

Ответ: \( x < -1 \)

45.6

a) \( \log_3 (x^2 + 6) < \log_3 5x \)
\( x^2 + 6 < 5x \)
\( x^2 - 5x + 6 < 0 \)
\( (x - 2)(x - 3) < 0 \)
\( 2 < x < 3 \)

Ответ: \( 2 < x < 3 \)

б) \( \log_{0.6} (6x - x^2) > \log_{0.6} (-8 - x) \)
\( 6x - x^2 < -8 - x \)
\( x^2 - 7x - 8 > 0 \)
\( (x - 8)(x + 1) > 0 \)
\( x < -1 \) или \( x > 8 \)

Ответ: \( x < -1 \) или \( x > 8 \)

в) \( \lg (x^2 - 8) < \lg (2 - 9x) \)
\( x^2 - 8 < 2 - 9x \)
\( x^2 + 9x - 10 < 0 \)
\( (x + 10)(x - 1) < 0 \)
\( -10 < x < 1 \)

Ответ: \( -10 < x < 1 \)

г) \( \log_{\sqrt{2}} (x^2 + 10x) ≥ \log_{\sqrt{2}} (x - 14) \)
\( x^2 + 10x ≥ x - 14 \)
\( x^2 + 9x + 14 ≥ 0 \)
\( (x + 7)(x + 2) ≥ 0 \)
\( x ≤ -7 \) или \( x ≥ -2 \)

Ответ: \( x ≤ -7 \) или \( x ≥ -2 \)

45.7

a) \( \log_{\frac{1}{2}} (6 - x) ≥ \log_{\frac{1}{2}} x^2 \)
\( 6 - x ≤ x^2 \)
\( x^2 + x - 6 ≥ 0 \)
\( (x + 3)(x - 2) ≥ 0 \)
\( x ≤ -3 \) или \( x ≥ 2 \)

Ответ: \( x ≤ -3 \) или \( x ≥ 2 \)

б) \( \log_{0.3} (x^2 + 22) < \log_{0.3} 13x \)
\( x^2 + 22 > 13x \)
\( x^2 - 13x + 22 > 0 \)
\( (x - 2)(x - 11) > 0 \)
\( x < 2 \) или \( x > 11 \)

Ответ: \( x < 2 \) или \( x > 11 \)

в) \( \log_{\frac{1}{4}} (-x - 6) ≤ \log_{\frac{1}{4}} (6 - x^2) \)
\( -x - 6 ≥ 6 - x^2 \)
\( x^2 - x - 12 ≥ 0 \)
\( (x - 4)(x + 3) ≥ 0 \)
\( x ≤ -3 \) или \( x ≥ 4 \)

Ответ: \( x ≤ -3 \) или \( x ≥ 4 \)

г) \( \log_{0.5} (x^2 - 27) > \log_{0.5} 6x \)
\( x^2 - 27 < 6x \)
\( x^2 - 6x - 27 < 0 \)
\( (x - 9)(x + 3) < 0 \)
\( -3 < x < 9 \)

Ответ: \( -3 < x < 9 \)