Логарифмическое неравенство с квадратным корнем Решите неравенство \sqrt{10 - \log_2 x^7 + \log_2^2 x} \ge \log_2 \frac{8}{x}. В ответе укажите количество натуральных чисел, которые не являются решениями неравенства. Если таких чисел бесконечно много, то введите 1000.

Привет! Давай решим это логарифмическое неравенство вместе. У тебя все получится!

Сначала перепишем неравенство, используя свойства логарифмов:

\[\sqrt{10 - 7\log_2 x + (\log_2 x)^2} \ge \log_2 8 - \log_2 x\] \[\sqrt{10 - 7\log_2 x + (\log_2 x)^2} \ge 3 - \log_2 x\]

Обозначим \(y = \log_2 x\). Тогда неравенство примет вид:

\[\sqrt{10 - 7y + y^2} \ge 3 - y\]

Возведем обе части в квадрат (с учетом, что обе части неотрицательны, т.е. \(3 - y \le 0\) или \(y \le 3\)):

\[10 - 7y + y^2 \ge (3 - y)^2\] \[10 - 7y + y^2 \ge 9 - 6y + y^2\] \[1 \ge y\]

Значит, \(y \le 1\).

Теперь вернемся к исходной переменной:

\[\log_2 x \le 1\] \[x \le 2^1\] \[x \le 2\]

Теперь учтем ОДЗ (область допустимых значений):

1. Под корнем должно быть неотрицательное выражение: \[10 - 7\log_2 x + (\log_2 x)^2 \ge 0\]

   Это квадратное выражение всегда положительно, так как дискриминант \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\). Поскольку дискриминант положителен, но при этом старший коэффициент положителен, выражение больше или равно нулю.

2. Аргумент логарифма должен быть положительным: \[x > 0\]
3. \(3 - \log_2 x \gt 0\), так как возводили в квадрат: \[\log_2 x \lt 3 \Rightarrow x \lt 8\]

Учитывая все условия, получаем:

\[0 < x \le 2\]

Натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству, это 1 и 2. Натуральные числа, которые не являются решениями неравенства, это все натуральные числа больше 2. То есть, 3, 4, 5, 6, 7. Всего 5 чисел. (8 не входит, т.к. при этом левая часть \(\ge -5\), а правая 0, т.е. подходит)

В ответ нужно указать количество натуральных чисел, которые не являются решениями неравенства. Это числа 3, 4, 5, 6, 7. Их количество равно 5.

Но надо учесть еще одно условие: \(\log_2 x \le 3\) (т.е. \(x \le 8\)). Следовательно, натуральные числа, не являющиеся решениями неравенства, это 3, 4, 5, 6, 7. Итого 5 чисел.

Если решать, что надо указать количество натуральных чисел, которые не являются решениями неравенства, то это числа 3, 4, 5, 6, 7, что составляет 5 чисел. Если таких чисел бесконечно много, то надо ввести 1000. Но в нашем случае конечное число - 5.

Ответ: 5

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!