3) log2(x² + 3x - 4) = log7 (2x+2) 原2+3x-420 2x+220 2+3x-4=2x+2

Решение

Давай разберем решение этого уравнения и неравенств. Сначала запишем условия, при которых логарифмы имеют смысл:

1. \[x^2 + 3x - 4 > 0\]
2. \[2x + 2 > 0\]

Решим первое неравенство:

\[x^2 + 3x - 4 > 0\]

Найдем корни квадратного уравнения \[x^2 + 3x - 4 = 0\]:

\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\]

\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4\]

Значит, \[x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)\]

Неравенство принимает вид: \[(x - 1)(x + 4) > 0\]

Решением этого неравенства будет \[x < -4\] или \[x > 1\]

Решим второе неравенство:

\[2x + 2 > 0\]

\[2x > -2\]

\[x > -1\]

Теперь объединим решения этих неравенств. Первое неравенство дает \[x < -4\] или \[x > 1\], а второе неравенство дает \[x > -1\]. Таким образом, общее решение для области определения логарифмов будет \[x > 1\].

Теперь решим уравнение:

\[\log_2(x^2 + 3x - 4) = \log_2(2x + 2)\]

Поскольку основания логарифмов одинаковые, мы можем приравнять аргументы:

\[x^2 + 3x - 4 = 2x + 2\]

\[x^2 + 3x - 2x - 4 - 2 = 0\]

\[x^2 + x - 6 = 0\]

Найдем корни этого квадратного уравнения:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\]

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\]

\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3\]

Проверим полученные корни на соответствие области определения \[x > 1\]. Корень \[x = 2\] подходит, а корень \[x = -3\] не подходит.

Таким образом, единственным решением является \[x = 2\].

Ответ: x = 2

Молодец, ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!