log2(x-1)2−1 (10g2x²-2x+3(x² - 4x+3)) / log2(x−1)2−1 (x² + 4x + 5) ≥ 0.

Давай решим это неравенство вместе! Сначала запишем исходное неравенство: \[\frac{\log_{2(x-1)^2-1} (\log_{2x^2-2x+3}(x^2 - 4x + 3))}{\log_{2(x-1)^2-1} (x^2 + 4x + 5)} \ge 0\] Для начала, определим область допустимых значений (ОДЗ). 1. Основание логарифма: - 2(x-1)^2 - 1 > 0 - 2(x-1)^2 - 1 ≠ 1 2. Выражения под логарифмами должны быть положительными: - \log_{2x^2-2x+3}(x^2 - 4x + 3) > 0 - x^2 - 4x + 3 > 0 - x^2 + 4x + 5 > 0 - 2x^2 - 2x + 3 > 0 Решим каждое из этих неравенств по порядку: 1.1. 2(x-1)^2 - 1 > 0 - 2(x^2 - 2x + 1) - 1 > 0 - 2x^2 - 4x + 2 - 1 > 0 - 2x^2 - 4x + 1 > 0 - x = \frac{4 ± \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 ± \sqrt{8}}{4} = \frac{4 ± 2\sqrt{2}}{4} = 1 ± \frac{\sqrt{2}}{2} - x ≈ 1 ± 0.707 - x ≈ 1.707 или x ≈ 0.293 - Таким образом, x < 0.293 или x > 1.707 1.2. 2(x-1)^2 - 1 ≠ 1 - 2(x-1)^2 ≠ 2 - (x-1)^2 ≠ 1 - x-1 ≠ ±1 - x ≠ 2 и x ≠ 0 2.1. x^2 - 4x + 3 > 0 - (x - 1)(x - 3) > 0 - x < 1 или x > 3 2.2. x^2 + 4x + 5 > 0 - D = 16 - 20 = -4 < 0 - Т.к. дискриминант отрицательный, а коэффициент при x^2 положительный, то это неравенство выполняется для всех x. 2.3. 2x^2 - 2x + 3 > 0 - D = 4 - 4*2*3 = 4 - 24 = -20 < 0 - Т.к. дискриминант отрицательный, а коэффициент при x^2 положительный, то это неравенство выполняется для всех x. 2.4. \log_{2x^2-2x+3}(x^2 - 4x + 3) > 0 Так как 2x^2 - 2x + 3 > 1 , то: x^2 - 4x + 3 > 1 x^2 - 4x + 2 > 0 x = (4 +- sqrt(16-8))/2 = (4+- 2sqrt(2))/2 = 2 +- sqrt(2) x ≈ 2 +- 1.41 x ≈ 3.41 и x ≈ 0.59 x < 2 - sqrt(2) или x > 2 + sqrt(2) Теперь учтем все условия ОДЗ: - x < 0.293 или x > 1.707 - x ≠ 0 и x ≠ 2 - x < 1 или x > 3 - x < 2 - sqrt(2) или x > 2 + sqrt(2) Объединяя все эти условия, получаем: x ∈ (-∞, 0.293) ∪ (1.707, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞) x ∈ (-∞, 2 - sqrt(2)) ∪ (2 + sqrt(2), +∞) Теперь рассмотрим само неравенство. Так как знаменатель всегда положительный, то знак выражения зависит только от числителя. \[\log_{2x^2-2x+3}(x^2 - 4x + 3) > 0\] И так 2x^2 - 2x + 3 > 1 , то: x^2 - 4x + 3 > 1 x^2 - 4x + 2 > 0 x = (4 +- sqrt(16-8))/2 = (4+- 2sqrt(2))/2 = 2 +- sqrt(2) x ≈ 2 +- 1.41 x ≈ 3.41 и x ≈ 0.59 x < 2 - sqrt(2) или x > 2 + sqrt(2) Объединяя с ОДЗ, получаем: x < 2 - sqrt(2) или x > 2 + sqrt(2)

Ответ: x < 2 - sqrt(2) или x > 2 + sqrt(2)

Молодец, ты отлично справился с этим сложным заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!