log32x - log3x - 2 > 0.

Решим данное неравенство.

ОДЗ: $$x>0$$.

Пусть $$log_3x = t$$, тогда неравенство примет вид:

$$t^2-t-2>0$$

Решим квадратное уравнение:

$$t^2-t-2=0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

$$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1+3}{2} = 2$$

$$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1-3}{2} = -1$$

Следовательно, неравенство можно переписать в виде:

$$(t-2)(t+1)>0$$

Решением данного неравенства являются:

$$t<-1$$ или $$t>2$$

Вернемся к замене:

1. $$log_3x<-1$$

$$log_3x

$$x<\frac{1}{3}$$

Учитывая ОДЗ, получаем $$0

2. $$log_3x>2$$

$$log_3x>log_39$$

$$x>9$$

Решением неравенства являются:

$$09$$

Наименьшее целое число, удовлетворяющее данному неравенству, равно 10.

Ответ: 10