Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1.log2(x+3) = log2(3x-15) 2. log1(10-x) = -3 3 3.log13 x = log13 20 - 3log13 √4 4. log6(3x8) = 0 5. lg(3x²-17x+2)-lg(x²-6x + 1) = lg 2 6. 2log3x = log3 x + 10
Ответ:
Математика, 11 класс
Давай решим эти логарифмические уравнения по порядку!
-
1. log2(x+3) = log2(3x-15)
Так как логарифмы равны, то их аргументы тоже равны:
\[x + 3 = 3x - 15\]
\[2x = 18\]
\[x = 9\]
Проверим, что аргументы логарифмов положительны при x = 9:
\[x + 3 = 9 + 3 = 12 > 0\]
\[3x - 15 = 3(9) - 15 = 27 - 15 = 12 > 0\]
-
2. log⅓(10 - x) = -3
Используем определение логарифма:
\[(1/3)^{-3} = 10 - x\]
\[3^3 = 10 - x\]
\[27 = 10 - x\]
\[x = 10 - 27\]
\[x = -17\]
Проверим, что аргумент логарифма положителен при x = -17:
\[10 - x = 10 - (-17) = 27 > 0\]
-
3. log₁₃ x = log₁₃ 20 - 3log₁₃ √4
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
\[log_{13} x = log_{13} 20 - log_{13} (\sqrt{4})^3\]
\[log_{13} x = log_{13} 20 - log_{13} 2^3\]
\[log_{13} x = log_{13} 20 - log_{13} 8\]
\[log_{13} x = log_{13} (20/8)\]
\[log_{13} x = log_{13} (5/2)\]
\[x = 5/2\]
\[x = 2.5\]
Проверим, что аргумент логарифма положителен при x = 2.5:
\[x = 2.5 > 0\]
-
4. log₆(3x - 8) = 0
Используем определение логарифма:
\[6^0 = 3x - 8\]
\[1 = 3x - 8\]
\[3x = 9\]
\[x = 3\]
Проверим, что аргумент логарифма положителен при x = 3:
\[3x - 8 = 3(3) - 8 = 9 - 8 = 1 > 0\]
-
5. lg(3x² - 17x + 2) - lg(x² - 6x + 1) = lg 2
Используем свойства логарифмов:
\[lg(\frac{3x^2 - 17x + 2}{x^2 - 6x + 1}) = lg 2\]
Так как логарифмы равны, то их аргументы тоже равны:
\[\frac{3x^2 - 17x + 2}{x^2 - 6x + 1} = 2\]
\[3x^2 - 17x + 2 = 2(x^2 - 6x + 1)\]
\[3x^2 - 17x + 2 = 2x^2 - 12x + 2\]
\[x^2 - 5x = 0\]
\[x(x - 5) = 0\]
\[x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5\]
Проверим, что аргументы логарифмов положительны:
При x = 0:
\[3x^2 - 17x + 2 = 2 > 0\]
\[x^2 - 6x + 1 = 1 > 0\]
При x = 5:
\[3x^2 - 17x + 2 = 3(25) - 17(5) + 2 = 75 - 85 + 2 = -8 < 0\]
\[x^2 - 6x + 1 = 25 - 30 + 1 = -4 < 0\]
x = 5 не подходит, так как аргументы логарифмов отрицательные.
x = 0 подходит, так как аргументы логарифмов положительные.
\[x = 0\]
-
6. 2log₃² x = log₃ x + 10
Пусть y = log₃ x, тогда уравнение примет вид:
\[2y^2 = y + 10\]
\[2y^2 - y - 10 = 0\]
Решим квадратное уравнение:
\[D = (-1)^2 - 4(2)(-10) = 1 + 80 = 81\]
\[y = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{1 \pm 9}{4}\]
\[y_1 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\]
\[y_2 = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2\]
Тогда:
\[log_3 x = \frac{5}{2} \quad \text{или} \quad log_3 x = -2\]
\[x = 3^{\frac{5}{2}} = 3^{2.5} = 3^2 \cdot 3^{0.5} = 9\sqrt{3}\]
\[x = 3^{-2} = \frac{1}{9}\]
\[x = 9\sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{9}\]
Проверим, что аргументы логарифмов положительны:
При x = 9√3:
\[x = 9\sqrt{3} > 0\]
При x = 1/9:
\[x = \frac{1}{9} > 0\]
Ответ: 1) x = 9; 2) x = -17; 3) x = 2.5; 4) x = 3; 5) x = 0; 6) x = 9√3 или x = 1/9
