log4-x(2x+1) log4-8+ log4-xx². log2(x²-5x+6) <5 lg 10.

Решение первого неравенства:

\[\log_{4-x}(2x+1) \le \log_{4-x}8 + \log_{4-x}x^2\]

Для начала, упростим правую часть неравенства, используя свойство логарифмов \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\):

\[\log_{4-x}(2x+1) \le \log_{4-x}(8x^2)\]

Теперь нужно рассмотреть два случая, так как основание логарифма \(4-x\) может быть больше или меньше 1:

1. Случай 1: \(4-x > 1\) (то есть, \(x < 3\)). В этом случае знак неравенства не меняется:

   \[2x+1 \le 8x^2\] \[8x^2 - 2x - 1 \ge 0\]

   Решим квадратное уравнение \(8x^2 - 2x - 1 = 0\). Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36\). Корни:

   \[x_1 = \frac{2 + 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\] \[x_2 = \frac{2 - 6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}\]

   Таким образом, решения неравенства: \(x \le -\frac{1}{4}\) или \(x \ge \frac{1}{2}\). Учитывая, что \(x < 3\), получаем \(x \in (-\infty; -\frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{2}; 3)\).

2. Случай 2: \(0 < 4-x < 1\) (то есть, \(3 < x < 4\)). В этом случае знак неравенства меняется:

   \[2x+1 \ge 8x^2\] \[8x^2 - 2x - 1 \le 0\]

   Как мы уже нашли, решения квадратного неравенства: \(-\frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}\). Учитывая, что \(3 < x < 4\), в этом случае решений нет.

Теперь необходимо учесть ограничения, связанные с логарифмами:

• \(4-x > 0\) и \(4-x
  e 1\) \(\Rightarrow\) \(x < 4\) и \(x
  e 3\)
• \(2x+1 > 0\) \(\Rightarrow\) \(x > -\frac{1}{2}\)
• \(x^2 > 0\) \(\Rightarrow\) \(x
  e 0\)

Объединяя все условия, получаем решение первого неравенства: \(x \in [\frac{1}{2}; 3) \cup (3; 4)\).

Решение второго неравенства:

\[\log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < 5 \lg \sqrt[5]{10}\]

Упростим правую часть. По определению, десятичный логарифм \(\lg a = \log_{10} a\). Таким образом:

\[5 \lg \sqrt[5]{10} = 5 \log_{10} 10^{\frac{1}{5}} = 5 \cdot \frac{1}{5} \log_{10} 10 = 1\]

Теперь неравенство принимает вид:

\[\log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < 1\]

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: \(2x > 1\) (то есть, \(x > \frac{1}{2}\)). В этом случае знак неравенства не меняется:

   \[x^2 - 5x + 6 < 2x\] \[x^2 - 7x + 6 < 0\]

   Решим квадратное уравнение \(x^2 - 7x + 6 = 0\). Корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 6\). Таким образом, решения неравенства: \(1 < x < 6\). Учитывая, что \(x > \frac{1}{2}\), получаем \(x \in (1; 6)\).

2. Случай 2: \(0 < 2x < 1\) (то есть, \(0 < x < \frac{1}{2}\)). В этом случае знак неравенства меняется:

   \[x^2 - 5x + 6 > 2x\] \[x^2 - 7x + 6 > 0\]

   Как мы уже нашли, решения квадратного неравенства: \(x < 1\) или \(x > 6\). Учитывая, что \(0 < x < \frac{1}{2}\), получаем \(x \in (0; \frac{1}{2})\).

Теперь необходимо учесть ограничения, связанные с логарифмами:

• \(2x > 0\) и \(2x
  e 1\) \(\Rightarrow\) \(x > 0\) и \(x
  e \frac{1}{2}\)
• \(x^2 - 5x + 6 > 0\) \(\Rightarrow\) \((x-2)(x-3) > 0\) \(\Rightarrow\) \(x < 2\) или \(x > 3\)

Объединяя все условия, получаем решение второго неравенства: \(x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (1; 2) \cup (3; 6)\).