los+ (10-x)+log+ (x-3)2-1

Ответ: x \in (3; 4]

Пошаговое решение:

1. Определим ОДЗ:
   • 10 - x > 0 \(\Rightarrow\) x < 10
   • x - 3 > 0 \(\Rightarrow\) x > 3

   Таким образом, 3 < x < 10

2. Преобразуем неравенство:

   \[\log_{\frac{1}{6}}(10-x) + \log_{\frac{1}{6}}(x-3) \ge -1\]

   \[\log_{\frac{1}{6}}((10-x)(x-3)) \ge \log_{\frac{1}{6}}6\]

3. Учитывая, что основание логарифма меньше 1, меняем знак неравенства:

   \[(10-x)(x-3) \le 6\]

   \[10x - 30 - x^2 + 3x \le 6\]

   \[-x^2 + 13x - 36 \le 0\]

   \[x^2 - 13x + 36 \ge 0\]

4. Решаем квадратное уравнение:

   \[x^2 - 13x + 36 = 0\]

   \[D = 13^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\]

   \[x_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4\]

5. Определяем интервалы и знаки:

   Парабола с ветвями вверх, корни 4 и 9. Неравенство больше или равно 0, значит, выбираем интервалы вне корней.

   \[x \in (-\infty; 4] \cup [9; +\infty)\]

6. Учитываем ОДЗ:

   3 < x < 10

   Пересечение с решением неравенства:

   \[x \in (3; 4] \cup [9; 10)\]

Ответ: x \in (3; 4]