Луч OD является биссектрисой угла AOC, ∠BOD = 168°. Вычислите градусную меру угла AOC.

Дано:

• OD — биссектриса ∠AOC
• ∠BOD = 168°

Решение:

1. По условию, OD — биссектриса ∠AOC. Это значит, что ∠AOD = ∠DOC.
2. Угол ∠AOC и ∠BOD являются смежными, если точка B лежит на продолжении луча AO. Однако, судя по рисунку 36, точки A, O, B лежат на одной прямой, образуя развернутый угол.
3. Угол ∠AOC и ∠BOC являются смежными, так как их стороны OA и OB образуют развернутый угол, а OC — общая сторона. Поэтому ∠AOC + ∠BOC = 180°.
4. Также, ∠BOD = ∠BOC + ∠COD.
5. Из рисунка 36 видно, что ∠BOD = 168°.
6. Так как OD — биссектриса ∠AOC, то ∠COD = ∠AOD.
7. Тогда ∠BOD = ∠BOC + ∠AOD = 168°.
8. Рассмотрим развернутый угол ∠AOB = 180°.
9. ∠AOC + ∠COB = 180°.
10. ∠AOD + ∠DOC + ∠COB = 180°.
11. Так как ∠AOD = ∠DOC, то 2∠DOC + ∠COB = 180°.
12. Также, ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 168°.
13. Вычтем из ∠BOD угол ∠COD: ∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 168° - ∠COD.
14. Подставим это в уравнение для развернутого угла: 2∠COD + (168° - ∠COD) = 180°.
15. Упрощаем: ∠COD + 168° = 180°.
16. Находим ∠COD: ∠COD = 180° - 168° = 12°.
17. Так как OD — биссектриса ∠AOC, то ∠AOC = 2 * ∠COD.
18. ∠AOC = 2 * 12° = 24°.

Ответ: 24°