Луч СМ делит угол BCD на два угла, причем ∠BCM в 4 раза больше, чем ∠DCM. Найдите ∠DCM, если ∠BCD = 150°.

Решение:

Пусть \( \angle DCM = x \).

Тогда \( \angle BCM = 4x \) (по условию, \( \angle BCM \) в 4 раза больше \( \angle DCM \)).

Угол \( \angle BCD \) состоит из двух углов: \( \angle BCM \) и \( \angle DCM \).

Следовательно, \( \angle BCD = \angle BCM + \angle DCM \).

Подставим известные значения:

\[ 150^{\circ} = 4x + x \]

\[ 150^{\circ} = 5x \]

Теперь найдем \( x \):

\[ x = \frac{150^{\circ}}{5} \]

\[ x = 30^{\circ} \]

Значит, \( \angle DCM = 30^{\circ} \).

Для проверки найдем \( \angle BCM \): \( \angle BCM = 4x = 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ} \).

\( \angle BCM + \angle DCM = 120^{\circ} + 30^{\circ} = 150^{\circ} \), что соответствует \( \angle BCD \).

Ответ: \( \angle DCM = 30^{\circ} \).