Луч света падает на границу раздела двух прозрачных сред под углом 30°. При этом отражённый и преломлённый лучи перпендикулярны друг другу. Определите скорость света во второй среде, если скорость света в первой среде 1,5·10^8 м/с.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом преломления света (закон Снеллиуса) и условием перпендикулярности отражённого и преломлённого лучей.

1. Дано:
   Угол падения \( \alpha = 30^{\circ} \)
   Скорость света в первой среде \( v_1 = 1.5 \cdot 10^8 \text{ м/с} \)
   Отражённый и преломлённый лучи перпендикулярны друг другу.
2. Найти:
   Скорость света во второй среде \( v_2 \).
3. Теоретическая часть:
   По закону отражения, угол отражения \( \beta \) равен углу падения \( \alpha \), то есть \( \beta = \alpha = 30^{\circ} \).
   Угол между падающим и отражённым лучом равен \( \alpha + \beta = 2\alpha = 60^{\circ} \).
   По условию, отражённый и преломлённый лучи перпендикулярны, то есть угол между ними равен \( 90^{\circ} \).
   Пусть \( \gamma \) — угол преломления. Угол между падающим и преломлённым лучом равен \( \gamma \).
   Угол между отражённым и преломлённым лучами равен \( 180^{\circ} - 2\alpha \) (если луч отражения и падающий луч образуют угол \( 2\alpha \) , а преломлённый луч находится с другой стороны от нормали) или \( 90^{\circ} \).
   Рассмотрим угол между отражённым лучом и нормалью, который равен \( \beta \). Угол между преломлённым лучом и нормалью равен \( \gamma \).
   Угол между отражённым лучом и преломлённым лучом равен \( 90^{\circ} \).
   В зависимости от того, как расположены лучи, этот угол может быть выражен как \( \beta + \gamma \) или \( |\beta - \gamma| \).
   В классической постановке, угол между отраженным и преломленным лучом равен \( \beta + \gamma = 90^{\circ} \) (если они по разные стороны от падающего луча, что не так, или когда рассматривается угол между векторами).
   Более точный подход: угол падения \( \alpha \), угол отражения \( \beta = \alpha \). Угол преломления \( \gamma \).
   Угол между отражённым и преломлённым лучом равен \( 90^{\circ} \).
   Если луч отражения и преломленный луч находятся по разные стороны от нормали, то угол между ними равен \( \beta + \gamma \).
   Если они по одну сторону, то \( |\beta - \gamma| \).
   В данной задаче, учитывая, что отражённый луч и преломлённый луч перпендикулярны, и угол падения \( \alpha = 30^{\circ} \), то угол отражения \( \beta = 30^{\circ} \).
   Угол между отражённым лучом и преломлённым лучом равен \( 90^{\circ} \).
   Из геометрии следует, что \( \beta + \gamma = 90^{\circ} \) или \( \gamma = 90^{\circ} - \beta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
   Закон Снеллиуса: \( n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\gamma \).
   Показатель преломления \( n = \frac{c}{v} \), где \( c \) — скорость света в вакууме, \( v \) — скорость света в среде.
   \( \frac{c}{v_1} \sin\alpha = \frac{c}{v_2} \sin\gamma \)
   \( \frac{\sin\alpha}{v_1} = \frac{\sin\gamma}{v_2} \)
   \( v_2 = v_1 \frac{\sin\gamma}{\sin\alpha} \)
4. Вычисления:
   \( v_2 = (1.5 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \)
   \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \)
   \( v_2 = (1.5 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \)
   \( v_2 = (1.5 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \sqrt{3} \)
   \( v_2 \approx 1.5 \cdot 10^8 \cdot 1.732 \text{ м/с} \)
   \( v_2 \approx 2.598 \cdot 10^8 \text{ м/с} \)

Ответ: скорость света во второй среде приблизительно равна \( 2.6 \cdot 10^8 \text{ м/с} \).