2. Лучи $$AB$$ и $$AC$$ касаются окружности с радиусом $$R = 5$$ и центром $$O$$ в точках $$B$$ и $$C$$, $$\angle A = 60^\circ$$ (см. рис. 95). Найдите $$AC$$ и $$AO$$.

Дано: Окружность с центром O, радиус R = 5. AB и AC - касательные к окружности в точках B и C. $$\angle BAC = 60^\circ$$ Найти: AC, AO. Решение: 1. Так как $$AB$$ и $$AC$$ - касательные к окружности, то $$OB \perp AB$$ и $$OC \perp AC$$. Следовательно, $$\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$$. 2. Рассмотрим треугольник $$ABO$$. Он прямоугольный ($$\angle OBA = 90^\circ$$). $$\angle BAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$$ (поскольку $$AO$$ - биссектриса угла $$BAC$$). 3. В прямоугольном треугольнике $$ABO$$: $$\tan \angle BAO = \frac{OB}{AB}$$. Отсюда, $$AB = \frac{OB}{\tan \angle BAO} = \frac{5}{\tan 30^\circ} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{5 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15 \sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$$. 4. Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то $$AC = AB = 5\sqrt{3}$$. 5. В прямоугольном треугольнике $$ABO$$: $$\sin \angle BAO = \frac{OB}{AO}$$. Отсюда, $$AO = \frac{OB}{\sin \angle BAO} = \frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10$$. Ответ: $$AC = 5\sqrt{3}$$, $$AO = 10$$. Ответ: $$AC = 5\sqrt{3}$$ см, $$AO = 10$$ см