LVII. Три друга учатся в гимназии. Один из них в математическом, другой - в физическом, а третий - в биологическом классах. При этом известно: А) Если Пётр математик, то Сергей не физик. Б) Если Роман не физик, то Пётр математик. В) Если Сергей не математик, то Роман биолог. Определите специальность каждого.

Решение:

Обозначим классы как М (математический), Ф (физический), Б (биологический). У нас есть три друга: Пётр, Роман, Сергей.

1. А) Если Пётр математик, то Сергей не физик.
2. Б) Если Роман не физик, то Пётр математик.
3. В) Если Сергей не математик, то Роман биолог.

Проверим варианты:

Предположим, Пётр — математик (М).

• Из условия (А) следует, что Сергей не физик. Значит, Сергей может быть математиком (но это невозможно, так как Пётр уже математик) или биологом (Б).
• Если Сергей — биолог (Б), то Роман — физик (Ф).
• Проверим условия:
• (А) Пётр - М, Сергей - не Ф (верно, Сергей - Б).
• (Б) Роман - не Ф (неверно, Роман - Ф). Таким образом, наше первоначальное предположение о Петре-математике ошибочно.

Предположим, Пётр — физик (Ф).

• Из условия (Б) следует: Если Роман не физик, то Пётр математик. Так как Пётр — физик, то Роман — физик. Но это невозможно, так как они разные люди. Следовательно, условие (Б) должно быть таким: Роман — физик.
• Если Роман — физик (Ф), то Пётр не может быть физиком. Снова противоречие.

Предположим, Пётр — биолог (Б).

• Из условия (Б): Если Роман не физик, то Пётр математик. Так как Пётр — биолог, то Роман — физик.
• Итак, Роман — физик (Ф).
• Оставшийся класс — математический (М), и остался Сергей. Значит, Сергей — математик (М).
• Проверим условия:
• (А) Если Пётр математик (неверно, Пётр - Б), то Сергей не физик (верно, Сергей - М). Условие в данном случае истинно, так как посылка ложна.
• (Б) Если Роман не физик (неверно, Роман - Ф), то Пётр математик (неверно, Пётр - Б). Условие истинно.
• (В) Если Сергей не математик (неверно, Сергей - М), то Роман биолог (неверно, Роман - Ф). Условие истинно.
• Возможно, я неправильно трактую условные утверждения. Попробуем от обратного.

Пусть Сергей — биолог (Б).

• Из условия (В): Если Сергей не математик, то Роман биолог. Так как Сергей - биолог, то он не математик. Следовательно, Роман - биолог. Но это невозможно, так как Сергей уже биолог.

Пусть Сергей — физик (Ф).

• Из условия (В): Если Сергей не математик (верно, Сергей - Ф), то Роман биолог. Значит, Роман - биолог (Б).
• Итак, Сергей — физик (Ф), Роман — биолог (Б).
• Оставшийся класс — математический (М), и остался Пётр. Значит, Пётр — математик (М).
• Проверим условия:
• (А) Если Пётр математик (верно), то Сергей не физик (неверно, Сергей - Ф). Условие ложно.

Пусть Сергей — математик (М).

• Из условия (В): Если Сергей не математик (ложно), то Роман биолог. Условие истинно.
• Из условия (А): Если Пётр математик, то Сергей не физик. Так как Сергей - математик, то он не физик, что верно. Данное условие не даёт информации о Петре.
• Из условия (Б): Если Роман не физик, то Пётр математик.
• Если Роман — физик (Ф), то условие (Б) истинно (посылка ложна).
• Если Роман — биолог (Б), то условие (Б) истинно (посылка истинна, и Пётр должен быть математиком). Но Сергей уже математик. Противоречие.
• Значит, Роман — физик (Ф).
• Если Роман — физик (Ф), и Сергей — математик (М), то Пётр — биолог (Б).
• Проверим все условия:
• (А) Если Пётр математик (неверно, Пётр - Б), то Сергей не физик (верно, Сергей - М). Условие истинно.
• (Б) Если Роман не физик (неверно, Роман - Ф), то Пётр математик (неверно, Пётр - Б). Условие истинно.
• (В) Если Сергей не математик (неверно, Сергей - М), то Роман биолог (неверно, Роман - Ф). Условие истинно.
• Все условия соблюдены.

Ответ: Пётр - биолог, Роман - физик, Сергей - математик.