6) M (-5; 1), N (−4; 4), P (−1; 5), Q (−2; 2). 951 Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоуголь- ником, и найдите его площадь, если: a) A (-3; −1), В (1; −1), C (1; −3), D (−3; −3); б) А (4; 1), В (3; 5), C (−1; 4), D (0; 0).

Задание 951

Привет! Давай докажем, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдем его площадь в обоих случаях.

а) A(-3; -1), B(1; -1), C(1; -3), D(-3; -3)

Для начала, проверим, что стороны параллельны и углы прямые. Найдем векторы сторон:

• AB = B - A = (1 - (-3); -1 - (-1)) = (4; 0)
• BC = C - B = (1 - 1; -3 - (-1)) = (0; -2)
• CD = D - C = (-3 - 1; -3 - (-3)) = (-4; 0)
• DA = A - D = (-3 - (-3); -1 - (-3)) = (0; 2)

Теперь найдем длины сторон:

• |AB| = \(\/4^2 + 0^2\) = 4
• |BC| = \(\/0^2 + (-2)^2\) = 2
• |CD| = \(\/(-4)^2 + 0^2\) = 4
• |DA| = \(\/0^2 + 2^2\) = 2

AB || CD и BC || DA, следовательно, это параллелограмм. Теперь проверим, что углы прямые, для этого найдем скалярное произведение смежных сторон, например, AB и BC:

AB · BC = (4; 0) · (0; -2) = 4*0 + 0*(-2) = 0

Так как скалярное произведение равно 0, угол между AB и BC прямой. Следовательно, это прямоугольник.

Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон:

S = |AB| * |BC| = 4 * 2 = 8

б) A(4; 1), B(3; 5), C(-1; 4), D(0; 0)

Аналогично найдем векторы сторон:

• AB = B - A = (3 - 4; 5 - 1) = (-1; 4)
• BC = C - B = (-1 - 3; 4 - 5) = (-4; -1)
• CD = D - C = (0 - (-1); 0 - 4) = (1; -4)
• DA = A - D = (4 - 0; 1 - 0) = (4; 1)

Теперь найдем длины сторон:

• |AB| = \(\/(-1)^2 + 4^2\) = \(\/17\)
• |BC| = \(\/(-4)^2 + (-1)^2\) = \(\/17\)
• |CD| = \(\/1^2 + (-4)^2\) = \(\/17\)
• |DA| = \(\/4^2 + 1^2\) = \(\/17\)

В данном случае, это ромб, так как все стороны равны. Теперь проверим, что углы прямые, для этого найдем скалярное произведение смежных сторон, например, AB и BC:

AB · BC = (-1; 4) · (-4; -1) = (-1)*(-4) + 4*(-1) = 4 - 4 = 0

Так как скалярное произведение равно 0, угол между AB и BC прямой. Следовательно, это квадрат.

Площадь квадрата равна квадрату длины стороны:

S = |AB|^2 = (\(\/17\))^2 = 17

Ответ: a) S = 8, б) S = 17

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!