1. M и N – середины сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите величину AB и ∠B, если MN = 8 см, ∠CNM = 46°. 2. ABCD – параллелограмм с периметром 28 см, O – точка пересечения диагоналей. Найдите расстояние от точки O до середины CD, если расстояние от точки O до середины BC равно 3 см. 3. В равнобедренном треугольнике ABC O – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки O до вершины A данного треугольника, если AB = BC = 10 см, AC = 16 см.

Давай решим эти задачи по геометрии по порядку!

1. Найдём величину AB и ∠B

Так как M и N – середины сторон AC и CB соответственно, то MN – средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии треугольника, она равна половине основания, то есть AB.

Значит, AB = 2 * MN = 2 * 8 = 16 см.

Теперь найдём ∠B. Так как MN – средняя линия, она параллельна AB. Следовательно, ∠CNM = ∠CAB как соответственные углы при параллельных прямых MN и AB и секущей AC.

Тогда ∠CAB = 46°. Поскольку треугольник ABC равнобедренный (так как MN – средняя линия), ∠CAB = ∠CBA.

Следовательно, ∠CBA (∠B) = 46°.

Ответ: AB = 16 см, ∠B = 46°

2. Найдём расстояние от точки O до середины CD

Пусть K – середина CD, а L – середина BC. Тогда OK – искомое расстояние, а OL = 3 см (дано).

Так как O – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то она делит каждую диагональ пополам. Значит, OL – средняя линия треугольника BCD. По свойству средней линии, OL = 1/2 * KD, где KD – половина CD.

Так как ABCD – параллелограмм, AB = CD. Обозначим AB = CD = x, BC = AD = y. Периметр параллелограмма равен 2 * (x + y) = 28 см, следовательно, x + y = 14 см.

Мы знаем, что OL = 3 см, и OL = 1/2 * KD, значит, KD = 2 * OL = 2 * 3 = 6 см. Так как KD = 1/2 * CD, то CD = 2 * KD = 2 * 6 = 12 см.

Следовательно, AB = 12 см. Теперь найдём BC: BC = 14 - AB = 14 - 12 = 2 см.

OK – средняя линия треугольника ACD. Значит, OK = 1/2 * AD = 1/2 * BC = 1/2 * 2 = 1 см.

Ответ: Расстояние от точки O до середины CD равно 1 см.

3. Найдём расстояние от точки O до вершины A

Пусть M – середина BC. Тогда AM – медиана, и O – точка её пересечения с другими медианами. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой.

Найдём AM. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. AC = 16 см, значит MC = 8 см. По теореме Пифагора, AM = \(\sqrt{AC^2 - MC^2}\) = \(\sqrt{10^2 - 8^2}\) = \(\sqrt{100 - 64}\) = \(\sqrt{36}\) = 6 см.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, AO = (2/3) * AM = (2/3) * 6 = 4 см.

Ответ: Расстояние от точки O до вершины A равно 4 см.

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся спрашивать. У тебя все получится!