13 MA, NA-? M A 20 O N

Ответ: MA = 20\(\sqrt{3}\), NA = 20

1. Шаг 1: Анализ условия

• \(OM\) - радиус окружности, равен 20.
• \(MA\) - касательная к окружности в точке \(M\).
• \(OA\) - гипотенуза прямоугольного треугольника \(OMA\), так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Шаг 2: Нахождение \(OA\)

• Рассмотрим прямоугольный треугольник \(OMA\).
• Угол \(AOM\) равен 60°, так как \(\angle MON = 90°\), следовательно \(\angle AON = 90°\) и \(\angle AOM = 180°-90°=90°\), \(\angle OMA = 30°\).
• Так как \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), то \(OM = \frac{1}{2}OA\). Следовательно, \(OA = 2 \times OM = 2 \times 20 = 40\).

3. Шаг 3: Нахождение \(MA\)

• По теореме Пифагора: \(MA^2 + OM^2 = OA^2\).
• \(MA^2 = OA^2 - OM^2 = 40^2 - 20^2 = 1600 - 400 = 1200\).
• \(MA = \sqrt{1200} = \sqrt{400 \times 3} = 20\sqrt{3}\).

4. Шаг 4: Нахождение \(NA\)

• \(ON\) - радиус, равен 20.
• Треугольник \(ONA\) - прямоугольный, так как \(NA\) - касательная.
• По теореме Пифагора: \(ON^2 + NA^2 = OA^2\).
• \(NA^2 = OA^2 - ON^2 = 40^2 - 20^2 = 1600 - 400 = 1200\).
• \(NA = \sqrt{1200} = \sqrt{400 \times 3} = 20\sqrt{3}\).

5. Шаг 5: Проверка результата для NA

• Т.к. \( \angle OAM = 30^{\circ} \), \( \angle AON = 90^{\circ} \), то \( NA = OM = 20 \cdot \sqrt{3} \).

Ответ: MA = 20\(\sqrt{3}\), NA = 20