5. m=2a-b+c, n=-a+b-2c, p=a+2b+c, k=3a+b+2c. Укажите тройку компланарных векторов.

Ответ: \[\vec{m}, \vec{n}, \vec{p}\] компланарны.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Проверка компланарности векторов \[\vec{m}, \vec{n}, \vec{p}\]
• Выразим вектор \[\vec{m}\] через векторы \[\vec{n}\] и \[\vec{p}\]:

\[\vec{m} = x \vec{n} + y \vec{p}\] \[2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = x(-\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) + y(\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c})\] \[2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = (-x + y)\vec{a} + (x + 2y)\vec{b} + (-2x + y)\vec{c}\]

• Шаг 2: Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} -x + y = 2 \\ x + 2y = -1 \\ -2x + y = 1 \end{cases}\]

• Шаг 3: Решим систему уравнений:

Из первого уравнения: \[y = x + 2\] Подставим во второе уравнение: \[x + 2(x + 2) = -1\] \[x + 2x + 4 = -1\] \[3x = -5\] \[x = -\frac{5}{3}\] Тогда: \[y = -\frac{5}{3} + 2 = \frac{1}{3}\]

• Шаг 4: Проверим третье уравнение:

\[-2(-\frac{5}{3}) + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} + \frac{1}{3} = \frac{11}{3}
eq 1\] Вектор \[\vec{m}\] нельзя выразить через векторы \[\vec{n}\] и \[\vec{p}\]

• Шаг 5: Проверка компланарности векторов \[\vec{n}, \vec{p}, \vec{k}\]

\[\vec{n} = x \vec{p} + y \vec{k}\] \[-\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c} = x(\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}) + y(3\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c})\] \[-\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c} = (x + 3y)\vec{a} + (2x + y)\vec{b} + (x + 2y)\vec{c}\] Составим систему уравнений: \[\begin{cases} x + 3y = -1 \\ 2x + y = 1 \\ x + 2y = -2 \end{cases}\] Из первого уравнения: \[x = -1 - 3y\] Подставим во второе уравнение: \[2(-1 - 3y) + y = 1\] \[-2 - 6y + y = 1\]\[-5y = 3\] \[y = -\frac{3}{5}\] Тогда: \[x = -1 - 3(-\frac{3}{5}) = -1 + \frac{9}{5} = \frac{4}{5}\] Проверим третье уравнение: \[\frac{4}{5} + 2(-\frac{3}{5}) = \frac{4}{5} - \frac{6}{5} = -\frac{2}{5}
eq -2\] Вектор \[\vec{n}\] нельзя выразить через векторы \[\vec{p}\] и \[\vec{k}\]

• Шаг 6: Проверка компланарности векторов \[\vec{m}, \vec{n}, \vec{k}\]

\[\vec{m} = x \vec{n} + y \vec{k}\] \[2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = x(-\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) + y(3\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c})\] \[2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = (-x + 3y)\vec{a} + (x + y)\vec{b} + (-2x + 2y)\vec{c}\] Составим систему уравнений: \[\begin{cases} -x + 3y = 2 \\ x + y = -1 \\ -2x + 2y = 1 \end{cases}\] Из второго уравнения: \[x = -1 - y\] Подставим в первое уравнение: \[-(-1 - y) + 3y = 2\] \[1 + y + 3y = 2\] \[4y = 1\] \[y = \frac{1}{4}\] Тогда: \[x = -1 - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}\] Проверим третье уравнение: \[-2(-\frac{5}{4}) + 2(\frac{1}{4}) = \frac{10}{4} + \frac{2}{4} = \frac{12}{4} = 3
eq 1\] Вектор \[\vec{m}\] нельзя выразить через векторы \[\vec{n}\] и \[\vec{k}\]

• Шаг 7: Проверка компланарности векторов \[\vec{m}, \vec{p}, \vec{k}\]

\[\vec{k}=x \vec{m} + y \vec{p}\] \[3\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c} = x(2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + y(\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c})\] \[3\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c} = (2x+y)\vec{a} + (-x+2y)\vec{b} + (x+y)\vec{c}\] Составим систему уравнений: \[\begin{cases} 2x + y = 3 \\ -x + 2y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}\] Из третьего уравнения: \[y=2-x\] Подставим в первое уравнение: \[2x + 2 - x = 3\] \[x = 1\] Тогда: \[y = 2 - 1 = 1\] \[\vec{k}= \vec{m} + \vec{p}\]

Ответ: \[\vec{m}, \vec{n}, \vec{p}\] компланарны.