2. Максим играет в дартс и с вероятностью \frac{5}{8} - совершает успешный бросок. Он совершает серию последовательных бросков. Чему равна вероятность того, что Максим совершит первый успешный бросок: а) при второй попытке; б) после третьей попытки; в) при первой или третьей попытке?

2. Рассмотрим задачу про дартс.

Вероятность успешного броска: $$p = \frac{5}{8}$$.

Вероятность неудачи (промаха): $$q = 1 - p = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$$.

а) Вероятность того, что первый успешный бросок будет при второй попытке:

Это означает, что первый бросок был неудачным, а второй - удачным.

$$P(а) = q \cdot p = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{64}$$.

б) Вероятность того, что первый успешный бросок будет после третьей попытки (то есть при четвертой):

Это означает, что первые три броска были неудачными, а четвертый - удачным.

$$P(б) = q \cdot q \cdot q \cdot p = q^3 \cdot p = (\frac{3}{8})^3 \cdot \frac{5}{8} = \frac{27}{512} \cdot \frac{5}{8} = \frac{135}{4096}$$.

в) Вероятность того, что первый успешный бросок будет при первой или третьей попытке:

Вероятность успешного броска при первой попытке: $$p = \frac{5}{8}$$.

Вероятность успешного броска при третьей попытке: $$q \cdot q \cdot p = (\frac{3}{8})^2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{9}{64} \cdot \frac{5}{8} = \frac{45}{512}$$.

Тогда вероятность успешного броска при первой или третьей попытке:

$$P(в) = p + q \cdot q \cdot p = \frac{5}{8} + \frac{45}{512} = \frac{320}{512} + \frac{45}{512} = \frac{365}{512}$$.

Ответ: а) $$\frac{15}{64}$$; б) $$\frac{135}{4096}$$; в) $$\frac{365}{512}$$.