13) Максим задумал натуральное число. Он прибавил к числу сумму его цифр и получил 76. Какое число задумал Максим? Объясните реше- ние. Решение: Ответ:

Решение:

Пусть задуманное число равно $$x$$. Сумма цифр числа $$x$$ равна $$S(x)$$. По условию, $$x + S(x) = 76$$.

Так как $$x$$ - натуральное число, то $$S(x) > 0$$. Следовательно, $$x < 76$$.

Число $$x$$ может быть двузначным или однозначным. Если $$x$$ - однозначное число, то $$x + x = 76$$, что невозможно, так как $$x < 76$$.

Предположим, что $$x$$ - двузначное число. Тогда $$x = 10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры числа $$x$$. Тогда $$S(x) = a + b$$.

Имеем: $$10a + b + a + b = 76$$, или $$11a + 2b = 76$$.

Выразим $$b$$: $$2b = 76 - 11a$$, $$b = \frac{76 - 11a}{2}$$. Так как $$b$$ - целое число, то $$76 - 11a$$ должно быть четным. Значит, $$11a$$ должно быть четным, следовательно, $$a$$ должно быть четным.

Возможные значения для $$a$$: 2, 4, 6. Рассмотрим каждый случай:

• Если $$a = 2$$, то $$b = \frac{76 - 11 \cdot 2}{2} = \frac{76 - 22}{2} = \frac{54}{2} = 27$$. Но $$b$$ - цифра, поэтому $$b < 10$$. Этот случай не подходит.
• Если $$a = 4$$, то $$b = \frac{76 - 11 \cdot 4}{2} = \frac{76 - 44}{2} = \frac{32}{2} = 16$$. Но $$b$$ - цифра, поэтому $$b < 10$$. Этот случай не подходит.
• Если $$a = 6$$, то $$b = \frac{76 - 11 \cdot 6}{2} = \frac{76 - 66}{2} = \frac{10}{2} = 5$$. Тогда $$x = 65$$.

Проверим: $$65 + 6 + 5 = 65 + 11 = 76$$.

Ответ: 65