Максимум. Рассмотрим функцию $y(x)=ax^2+bx+c$, где $a,b,c\in\mathbb R$, $a>0$, и ордината вершины параболы больше или равна минус двум. Известно, что максимальное по модулю значение этой функции на отрезке $[-1,1]$ равно 2. Найдите максимальное значение функции $f(x)=|2ax+b|$ на этом отрезке при надлежащем выборе коэффициентов $a,b,c$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Максимум. Рассмотрим функцию $y(x)=ax^2+bx+c$, где $a,b,c\in\mathbb R$, $a>0$, и ордината вершины параболы больше или…$ Фото задания

Максимум. Рассмотрим функцию $y(x)=ax^2+bx+c$, где $a,b,c\in\mathbb R$, $a>0$, и ордината вершины параболы больше или равна минус двум. Известно, что максимальное по модулю значение этой функции на отрезке $[-1,1]$ равно 2. Найдите максимальное значение функции $f(x)=|2ax+b|$ на этом отрезке при надлежащем выборе коэффициентов $a,b,c$.

Accepted Answer

Обозначим абсциссу вершины параболы через $t=-\frac{b}{2a}$, а её ординату — через $m$. Тогда $y(x)=a(x-t)^2+m$, где $m\ge -2$. По условию на отрезке $[-1,1]$ выполняется $|y(x)|\le 2$, поэтому $y(x)\le 2$.

Наибольшее значение $|2ax+b|=2a|x-t|$ на отрезке достигается на одном из концов. Пусть $D$ — большее из расстояний от $t$ до концов отрезка. Поскольку длина отрезка равна 2, $D\ge 1$.
В конце отрезка, находящемся на расстоянии $D$ от вершины, из $y(x)\le 2$ и $m\ge -2$ следует $aD^2\le 4$. Поэтому $aD\le \frac{4}{D}\le 4$.
Расстояние от вершины до любого конца отрезка не больше $D$, следовательно, на обоих концах $|2ax+b|\le 2aD\le 8$. Значит, искомый максимум не превосходит 8.
Равенство достигается при $a=4$, $b=0$, $c=-2$: тогда $y(x)=4x^2-2$, ордината вершины равна $-2$, а на $[-1,1]$ максимальное значение $|y(x)|$ равно 2. При этом $|2ax+b|=|8x|$, и его максимум равен 8.

Ответ: 8.