* Мальчик разложил на столе несколько картонных треугольников и пятиугольников. Всего у этих фигур 20 вершин. На столе __ треугольников и __ пятиугольников.

Пусть на столе один треугольник и три пятиугольника. Тогда число вершин равно \(1\cdot3+3\cdot5=3+15=18\), а не 20. Найдём подходящее сочетание: два треугольника и два пятиугольника дают \(2\cdot3+2\cdot5=6+10=16\); три треугольника и один пятиугольник дают \(3\cdot3+1\cdot5=9+5=14\). Следовательно, для целых чисел фигур уравнение \(3t+5p=20\) не имеет решения: по модулю 5 должно быть \(3t\equiv0\pmod5\), значит, число треугольников кратно 5, но тогда их вершин уже не меньше 15, а остаток 5 не делится на 5 как число вершин пятиугольников без треугольников? При \(t=5\) остаётся 5 вершин, то есть один пятиугольник. Это даёт \(5\cdot3+1\cdot5=20\).

Ответ: 5 треугольников и 1 пятиугольник.