Мальчик шесть раз стреляет из рогатки по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что мальчик три раза попал в мишень, а три раза промахнулся.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность (k) успехов в (n) независимых испытаниях, если вероятность успеха в каждом испытании равна (p).

В нашем случае:

• (n = 6) (количество выстрелов)
• (k = 3) (количество попаданий)
• (p = 0.6) (вероятность попадания в одном выстреле)
• (q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4) (вероятность промаха в одном выстреле)

Формула Бернулли выглядит так:

$$ P(k, n) = C_n^k cdot p^k cdot q^{n-k} $$

где (C_n^k) - это число сочетаний из (n) по (k), которое можно вычислить по формуле:

$$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Сначала вычислим (C_6^3):

$$ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 $$

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

$$ P(3, 6) = 20 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^3 = 20 \cdot 0.216 \cdot 0.064 = 20 \cdot 0.013824 = 0.27648 $$

Таким образом, вероятность того, что мальчик три раза попадет в мишень и три раза промахнется, равна 0.27648.

Ответ: 0.27648