Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
26 ! Маленький шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити, равномерно об- ращается по окружности в горизонтальной плоскости, представляя собой конический маятник. Угол отклонения нити от вертикали равен с = 30°. Определите длину нити, если период обращения шарика равен Т = 1,6 с. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шарик. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи. задания. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с правильным номером
Ответ:
Краткое пояснение: Необходимо определить длину нити, используя второй закон Ньютона и связь периода обращения с углом отклонения.
- Шаг 1: Сделаем схематический рисунок с указанием сил, действующих на шарик. На шарик действуют: сила тяжести \(mg\), направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити \(T\), направленная вдоль нити.
- Шаг 2: Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: \[m\vec{a} = \vec{T} + m\vec{g}\] В проекциях на горизонтальную ось (ось X) и вертикальную ось (ось Y): \[T \sin \alpha = ma_ц\] \[T \cos \alpha = mg\] где \(a_ц\) - центростремительное ускорение.
- Шаг 3: Выразим центростремительное ускорение через скорость и радиус окружности: \[a_ц = \frac{v^2}{R}\] где \(v\) - скорость шарика, \(R\) - радиус окружности.
- Шаг 4: Выразим скорость через период обращения и радиус окружности: \[v = \frac{2\pi R}{T}\] Тогда центростремительное ускорение: \[a_ц = \frac{(2\pi R / T)^2}{R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}\]
- Шаг 5: Подставим выражение для центростремительного ускорения в уравнение проекции на ось X: \[T \sin \alpha = m \frac{4\pi^2 R}{T^2}\]
- Шаг 6: Разделим уравнение проекции на ось X на уравнение проекции на ось Y: \[\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{m \frac{4\pi^2 R}{T^2}}{mg}\] \[\tan \alpha = \frac{4\pi^2 R}{gT^2}\] Выразим радиус окружности: \[R = \frac{gT^2 \tan \alpha}{4\pi^2}\]
- Шаг 7: Свяжем радиус окружности с длиной нити \(l\): \[R = l \sin \alpha\] Тогда: \[l \sin \alpha = \frac{gT^2 \tan \alpha}{4\pi^2}\] Выразим длину нити: \[l = \frac{gT^2}{4\pi^2 \cos \alpha}\]
- Шаг 8: Подставим числовые значения: \(g = 9.8 \ м/с^2\), \(T = 1.6 \ с\), \(\alpha = 30^\circ\): \[l = \frac{9.8 \cdot (1.6)^2}{4 \cdot (3.14)^2 \cdot \cos 30^\circ} = \frac{9.8 \cdot 2.56}{4 \cdot 9.86 \cdot 0.866} \approx \frac{25.088}{34.13} \approx 0.735 \ м\]
Ответ: Длина нити равна примерно 0.735 м.
