мант 3 див „Алгебра" x. (x² + 4x + 4) = 3.(x+2)

Решение:

Нам дано уравнение: \( x \cdot (x^2 + 4x + 4) = 3 \cdot (x+2) \)

1. Заметим, что выражение в скобках слева является полным квадратом: \( x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 \).
2. Подставим это в уравнение: \( x \cdot (x+2)^2 = 3 \cdot (x+2) \)
3. Перенесём всё в одну сторону, чтобы приравнять к нулю: \( x \cdot (x+2)^2 - 3 \cdot (x+2) = 0 \)
4. Вынесем общий множитель \( (x+2) \) за скобки: \( (x+2) \cdot [x \cdot (x+2) - 3] = 0 \)
5. Раскроем скобки во второй части: \( (x+2) \cdot [x^2 + 2x - 3] = 0 \)
6. Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.
7. Случай 1: \( x+2 = 0 \). Отсюда \( x = -2 \).
8. Случай 2: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \)
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Ответ: x = -2, x = 1, x = -3.