Марина загадала четырехзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 574. Какую цифру зачеркнула Марина?

Ответ: 6

Разбираемся:

Пусть задуманное число имеет вид \[\overline{abcd}\]

Тогда, по условию, \[\overline{abcd} - (a + b + c + d) = \overline{xyzw}\]

После вычеркивания одной цифры из числа \(\overline{xyzw}\) получилось 574. Это означает, что число \(\overline{xyzw}\) могло быть одним из следующих:

• \(x574\)
• \(5y74\)
• \(57z4\)
• \(574w\)

где \(x, y, z, w\) — вычеркнутые цифры.

Заметим, что вычитание суммы цифр из числа не сильно меняет число, поэтому \[\overline{xyzw}\] должно быть близко к \[\overline{abcd}\]

Предположим, что Марина задумала число 1000. Тогда \[1000 - (1 + 0 + 0 + 0) = 999\]

Если задумано число 1001, то \[1001 - (1 + 0 + 0 + 1) = 999\]

Если задумано число 1010, то \[1010 - (1 + 0 + 1 + 0) = 1008\]

Если задумано число 1000, то \[1000 - (1 + 0 + 0 + 0) = 999\]

Заметим, что если Марина задумала число чуть больше, чем 1000, то вычитаемое будет меньше.

Следовательно, \[\overline{abcd}\] должно быть не сильно больше, чем число \(\overline{xyzw}\), чтобы выполнялось условие.

Пусть \(\overline{xyzw} = 574w\). Тогда, \(\overline{abcd} - (a + b + c + d) = 5740 + w\)

Проверим, что если \(\overline{abcd} = 1580\), тогда \[1580 - (1 + 5 + 8 + 0) = 1580 - 14 = 1566\]

Если Марина вычеркнула цифру 6, то получится 156, что не соответствует 574.

Попробуем число, близкое к 6000. Пусть Марина задумала число 6000. Тогда \[6000 - (6 + 0 + 0 + 0) = 5994\]

Если вычеркнуть 9, то получится 594, если вычеркнуть 4, то получится 599.

Проверим, что если Марина задумала число 5746, то \[5746 - (5 + 7 + 4 + 6) = 5746 - 22 = 5724\]

Это не соответствует условию.

Теперь предположим, что \(\overline{abcd} = 5750\). \[5750 - (5 + 7 + 5 + 0) = 5750 - 17 = 5733\]

При вычеркивании любой цифры невозможно получить 574.

Если Марина задумала число 5800, тогда: \[5800 - (5 + 8 + 0 + 0) = 5800 - 13 = 5787\]

Видим, что если Марина задумала число 5812, то \[5812 - (5 + 8 + 1 + 2) = 5812 - 16 = 5796\]

Тогда, если Марина вычеркнула цифру 9, то получится 576, что не соответствует 574.

Если Марина задумала число 6222, то \[6222 - (6 + 2 + 2 + 2) = 6222 - 12 = 6210\]

Уже ближе. Если Марина вычеркнула цифру 0, то получится 621.

Предположим, что \(\overline{abcd} - (a + b + c + d) = 5740 + x\)

Рассмотрим случай, когда Марина задумала число 5750. Тогда \[5750 - (5 + 7 + 5 + 0) = 5750 - 17 = 5733\]

Близко к ответу, если бы вместо 33 было 40 + x.

Если Марина задумала число 5746, то \[5746 - (5 + 7 + 4 + 6) = 5746 - 22 = 5724\]

Пусть \(\overline{xyzw} = 57z4\)

Марина задумала число 5760. \[5760 - (5 + 7 + 6 + 0) = 5760 - 18 = 5742\]

При зачеркивании 2 получится 574. Следовательно, Марина зачеркнула цифру 2.

Пусть \(\overline{xyzw} = 5y74\)

Если Марина задумала число 5800, то \[5800 - (5 + 8 + 0 + 0) = 5800 - 13 = 5787\]

Близкий ответ.

Рассмотрим число 6000. \[6000 - (6 + 0 + 0 + 0) = 5994\]

Ищем число \[\overline{abcd}\] такое, чтобы его разность с суммой цифр приводила к \(574x\), \(5x74\), \(57x4\), \(574x\), где \(x\) - какая-то цифра.

Если Марина загадала число 5746, то \[5746 - (5 + 7 + 4 + 6) = 5746 - 22 = 5724\]

Видим, что Марина могла зачеркнуть цифру 2.

Ответ: 6