14 Маселе/Задача 14 14. На рисунке изображены три различные прямые. На первой прямой отмечены 2 точки, на второй 3 точки, на третьей 4 точки. Сколько различных треугольников можно построить, если вершинами треугольников являются эти точки?

Всего точек: 2 + 3 + 4 = 9.

Чтобы образовался треугольник, нужно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой.

Всего способов выбрать 3 точки из 9: $$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$$.

Однако, нужно исключить случаи, когда все три точки лежат на одной прямой.

• На первой прямой 2 точки, значит, выбрать 3 точки невозможно.
• На второй прямой 3 точки, число способов выбрать 3 точки из 3: $$C_3^3 = 1$$.
• На третьей прямой 4 точки, число способов выбрать 3 точки из 4: $$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4$$.

Исключаем эти случаи: 84 - 1 - 4 = 79.

Ответ: 79