2 Маселе/Задача 2 2. На рисунке изображены три различные прямые. На первой прямой отмечены 2 точки, на второй - 3 точки, на третьей 4 точки. Сколько различных треугольников можно построить, если вершинами треугольников являются эти точки? Сүрөттө үч ар башка түз линия көрсөтүлгөн. Биринчи түз линияда 2 чекит, экинчисинде 3 чекит, үчүнчүсүндө 4 чекит белгиленген. Эгер үч бурчтуктун чокусун бул чекиттерден тандаса, канча ар башка үч бурчтук курууга болот? Three different lines are shown in the figure below. 2 points are chosen on the first line, 3 points on the seconds, and 4 points on the third. How many different triangles can be constructed if vertices of the triangles are the chosen points?

Чтобы построить треугольник, нужно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой. У нас есть три прямые, на которых отмечены 2, 3 и 4 точки соответственно.

Общее количество точек: 2 + 3 + 4 = 9.

Чтобы выбрать три точки из девяти, можно использовать формулу сочетаний $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где n - общее количество точек, k - количество точек, которые нужно выбрать (в данном случае 3).

$$C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$$

Однако, нам нужно исключить случаи, когда все три точки лежат на одной прямой. Такие случаи:

• Все 3 точки на второй прямой: $$C(3, 3) = \frac{3!}{3!0!} = 1$$
• Все 3 точки на третьей прямой: $$C(4, 3) = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$$

Таким образом, общее количество треугольников можно найти, вычитая эти случаи из общего количества возможных выборов:

84 - 1 - 4 = 79.

Ответ: 79