20 Маселе/Задача 20 20. Найдите минимальный знаменатель, который может быть у рациональной дроби, которая представляется в виде бесконечной десятичной дроби, первые цифры которой: 0.334... 0.334... деп башталган чексиз ондук бөлчөктөр менен берилген рационалдык бөлчөктүн минималдуу бөлүмүн табыңыз. Find the minimal denominator that a rational fraction can have if it is represented as an infinite decimal whose first digits are 0.334...

Нам нужно найти минимальный знаменатель рациональной дроби, которая представляется в виде бесконечной десятичной дроби, начинающейся с цифр 0.334...

Пусть дробь равна $$ \frac{p}{q} $$, где $$ p $$ и $$ q $$ - целые числа, и $$ q $$ - знаменатель, который нам нужно найти.

Из условия следует, что $$ 0.334 \le \frac{p}{q} < 0.335 $$.

Из этого неравенства можно записать два неравенства:

1) $$ \frac{p}{q} \ge 0.334 \Rightarrow p \ge 0.334q $$,

2) $$ \frac{p}{q} < 0.335 \Rightarrow p < 0.335q $$.

Объединяя эти неравенства, получаем: $$ 0.334q \le p < 0.335q $$.

Нам нужно найти минимальное целое значение $$ q $$, при котором существует целое число $$ p $$, удовлетворяющее этому условию.

Попробуем подставлять значения для $$ q $$ и проверять, существует ли подходящее $$ p $$.

Если $$ q = 1 $$, то $$ 0.334 \le p < 0.335 $$, что невозможно, так как между 0.334 и 0.335 нет целых чисел.

Если $$ q = 2 $$, то $$ 0.668 \le p < 0.67 $$, что невозможно.

Если $$ q = 3 $$, то $$ 1.002 \le p < 1.005 $$, что невозможно.

Если $$ q = 298 $$, то $$ 0.334 \cdot 298 \le p < 0.335 \cdot 298 $$ $$ 99.532 \le p < 99.83 $$ , что невозможно.

Если $$ q = 299 $$, то $$ 0.334 \cdot 299 \le p < 0.335 \cdot 299 $$ $$ 99.866 \le p < 100.165 $$ , так как p это целое число, p = 100

Значит $$ \frac{p}{q} = \frac{100}{299} = 0.334448160535... $$

Таким образом, минимальный знаменатель равен 299.

Ответ: 299