Контрольные задания
Вопрос:

Маша сказала Даше: «Дай мне 8 конфет, тогда у меня будет в 2 раза больше конфет, чем у тебя». А Даша ответила: «Лучше ты дай мне 8 конфет, тогда у нас конфет будет поровну». Сколько конфет было у каждой девочки?

Фото задания: Маша сказала Даше: «Дай мне 8 конфет, тогда у меня будет в 2 раза больше конфет, чем у тебя». А Даша ответила: «Лучше ты…Фото задания

Ответ:

Решение:

Обозначим количество конфет у Маши за M, а у Даши за D.

  1. Из первого условия: Если Маша даст Даше 8 конфет, то у Маши станет \( M - 8 \) конфет, а у Даши \( D + 8 \). По условию, \( M - 8 = 2(D + 8) \).
  2. Из второго условия: Если Даша даст Маше 8 конфет, то у Даши станет \( D - 8 \) конфет, а у Маши \( M + 8 \). По условию, \( D - 8 = M + 8 \).
  3. Из второго уравнения выразим M: \( M = D - 8 - 8 = D - 16 \).
  4. Подставим выражение для M в первое уравнение: \( (D - 16) - 8 = 2(D + 8) \)
  5. Раскроем скобки и решим уравнение относительно D: \( D - 24 = 2D + 16 \) \( D - 2D = 16 + 24 \) \( -D = 40 \) \( D = -40 \).
  6. Это означает, что начальное количество конфет не может быть отрицательным. Перечитаем условие.
  7. Исправим логику:
  8. Пусть у Маши было x конфет, а у Даши — y конфет.
  9. Первое условие: Маша даёт 8 конфет Даше. У Маши станет \( x - 8 \) конфет, у Даши — \( y + 8 \). По условию: \( x - 8 = 2(y + 8) \).
  10. Второе условие: Даша даёт 8 конфет Маше. У Даши станет \( y - 8 \) конфет, у Маши — \( x + 8 \). По условию: \( y - 8 = x + 8 \).
  11. Из второго уравнения выразим x: \( x = y - 8 - 8 \), то есть \( x = y - 16 \).
  12. Подставим это выражение в первое уравнение: \( (y - 16) - 8 = 2(y + 8) \).
  13. Раскроем скобки: \( y - 24 = 2y + 16 \).
  14. Перенесём члены с y в одну сторону, а числа — в другую: \( y - 2y = 16 + 24 \).
  15. \( -y = 40 \), значит, \( y = -40 \).
  16. Снова отрицательное количество конфет. Переосмыслим условия.
  17. Второе условие: «Лучше ты дай мне 8 конфет, тогда у нас конфет будет поровну».
  18. Это означает, что если Даша даст Маше 8 конфет, то их количество станет равным.
  19. Пусть у Маши было M конфет, а у Даши — D конфет.
  20. Если Даша даст 8 конфет Маше: у Даши будет \( D - 8 \), у Маши будет \( M + 8 \). По условию: \( D - 8 = M + 8 \).
  21. Из этого следует, что \( M = D - 16 \).
  22. Первое условие: «Дай мне 8 конфет, тогда у меня будет в 2 раза больше конфет, чем у тебя».
  23. Это означает, что если Маша даст 8 конфет Даше: у Маши будет \( M - 8 \), у Даши будет \( D + 8 \). По условию: \( M - 8 = 2(D + 8) \).
  24. Подставим \( M = D - 16 \) в первое уравнение: \( (D - 16) - 8 = 2(D + 8) \).
  25. \( D - 24 = 2D + 16 \).
  26. \( -D = 40 \), \( D = -40 \).
  27. Проблема с интерпретацией условий. Попробуем другой подход.
  28. Пусть у Маши было x конфет, а у Даши — y конфет.
  29. Условие 2: Если Даша отдаст Маше 8 конфет: \( y - 8 \) конфет у Даши, \( x + 8 \) конфет у Маши. \( y - 8 = x + 8 \) ⇒ \( x = y - 16 \).
  30. Условие 1: Если Маша отдаст Даше 8 конфет: \( x - 8 \) конфет у Маши, \( y + 8 \) конфет у Даши. \( x - 8 = 2(y + 8) \).
  31. Подставим \( x = y - 16 \) в первое уравнение: \( (y - 16) - 8 = 2(y + 8) \) \( y - 24 = 2y + 16 \) \( -y = 40 \) \( y = -40 \).
  32. Снова получили отрицательное число. Значит, я неправильно интерпретирую одно из условий.
  33. Давайте перечитаем: «Дай мне 8 конфет, тогда у меня будет в 2 раза больше конфет, чем у тебя».
  34. Это означает, что если М отдаст Д 8 конфет, то у М станет M-8, у Д станет D+8. И M-8 = 2*(D+8).
  35. «Лучше ты дай мне 8 конфет, тогда у нас конфет будет поровну».
  36. Это означает, что если Д отдаст М 8 конфет, то у Д станет D-8, у М станет M+8. И D-8 = M+8.
  37. Из второго уравнения: \( M = D - 16 \).
  38. Подставляем в первое: \( (D - 16) - 8 = 2(D + 8) \).
  39. \( D - 24 = 2D + 16 \).
  40. \( -D = 40 \). \( D = -40 \).
  41. Есть ли смысл в задаче, если количество конфет отрицательное? Скорее всего, я делаю ошибку в самой постановке.
  42. Давайте попробуем ещё раз, с конца.
  43. Пусть у Маши было x конфет.
  44. Если Даша даст Маше 8 конфет, то у Маши станет x + 8, а у Даши — y - 8. По условию, \( x + 8 = y - 8 \), значит, \( y = x + 16 \).
  45. Если Маша даст Даше 8 конфет, то у Маши станет x - 8, а у Даши — y + 8. По условию, \( x - 8 = 2(y + 8) \).
  46. Подставим \( y = x + 16 \) в это уравнение: \( x - 8 = 2((x + 16) + 8) \).
  47. \( x - 8 = 2(x + 24) \).
  48. \( x - 8 = 2x + 48 \).
  49. \( x - 2x = 48 + 8 \).
  50. \( -x = 56 \), значит, \( x = -56 \).
  51. Снова отрицательное число. Проблема в логике.
  52. Давайте прочитаем внимательно:
  53. 1. Маша говорит Даше: «Дай мне 8 конфет, тогда у меня будет в 2 раза больше конфет, чем у тебя».
  54. Пусть у Маши было M конфет, у Даши — D.
  55. Если Маша даст 8 конфет Даше: у Маши станет M - 8, у Даши — D + 8.
  56. По условию: \( M - 8 = 2(D + 8) \).
  57. 2. Даша отвечает: «Лучше ты дай мне 8 конфет, тогда у нас конфет будет поровну».
  58. Если Даша даст 8 конфет Маше: у Даши станет D - 8, у Маши — M + 8.
  59. По условию: \( D - 8 = M + 8 \).
  60. Теперь у нас есть система уравнений:
  61. 1) \( M - 8 = 2(D + 8) \)
  62. 2) \( D - 8 = M + 8 \)
  63. Из уравнения (2) выразим M: \( M = D - 8 - 8 \) ⇒ \( M = D - 16 \).
  64. Подставим это выражение для M в уравнение (1):
  65. \( (D - 16) - 8 = 2(D + 8) \).
  66. \( D - 24 = 2D + 16 \).
  67. \( D - 2D = 16 + 24 \).
  68. \( -D = 40 \).
  69. \( D = -40 \).
  70. Всё ещё отрицательное. Возможно, я неправильно понимаю, кто кому даёт.
  71. Давайте попробуем прочитать так:
  72. 1. Маша говорит: «Дай мне 8 конфет...» (Значит, Даша отдаёт 8 конфет Маше).
  73. Тогда: у Маши станет \( M + 8 \), у Даши — \( D - 8 \).
  74. Условие: \( M + 8 = 2(D - 8) \).
  75. 2. Даша говорит: «Лучше ты дай мне 8 конфет...» (Значит, Маша отдаёт 8 конфет Даше).
  76. Тогда: у Маши станет \( M - 8 \), у Даши — \( D + 8 \).
  77. Условие: \( M - 8 = D + 8 \).
  78. Теперь система:
  79. 1) \( M + 8 = 2(D - 8) \)
  80. 2) \( M - 8 = D + 8 \)
  81. Из уравнения (2) выразим M: \( M = D + 8 + 8 \) ⇒ \( M = D + 16 \).
  82. Подставим это выражение для M в уравнение (1):
  83. \( (D + 16) + 8 = 2(D - 8) \).
  84. \( D + 24 = 2D - 16 \).
  85. \( D - 2D = -16 - 24 \).
  86. \( -D = -40 \).
  87. \( D = 40 \).
  88. Теперь найдём M, используя \( M = D + 16 \):
  89. \( M = 40 + 16 \) ⇒ \( M = 56 \).
  90. Проверим:
  91. Было: Маша — 56 конфет, Даша — 40 конфет.
  92. Условие 1: Маша говорит: «Дай мне 8 конфет». (Даша отдаёт 8 конфет Маше).
  93. У Маши станет \( 56 + 8 = 64 \). У Даши станет \( 40 - 8 = 32 \).
  94. Проверяем: \( 64 = 2 \times 32 \). Условие выполняется.
  95. Условие 2: Даша говорит: «Лучше ты дай мне 8 конфет». (Маша отдаёт 8 конфет Даше).
  96. У Маши станет \( 56 - 8 = 48 \). У Даши станет \( 40 + 8 = 48 \).
  97. Проверяем: \( 48 = 48 \). Условие выполняется.

Ответ: у Маши было 56 конфет, а у Даши — 40 конфет.