Маша заболела ..., что гуляла под дождём. Варианты: благодаря тому; из-за того; оба варианта допустимы.

Правильный вариант — из-за того: он указывает на причину болезни. Сочетание «благодаря тому, что» обычно обозначает причину с положительным результатом.

Ответ: из-за того