11. Маша загадала число. Она сказала: «Моё число меньше 50; при делении на 6 оно даёт остаток 5, а при делении на 5 - остаток 4». Какое число загадала Маша?

Решение:

Пусть x - загаданное число. Тогда, согласно условию задачи, можно записать следующие выражения:

$$x \equiv 5 \pmod{6}$$

$$x \equiv 4 \pmod{5}$$

Первое выражение означает, что число x можно представить в виде $$x = 6k + 5$$, где k - целое число.

Подставим это выражение во второе выражение:

$$6k + 5 \equiv 4 \pmod{5}$$

$$6k \equiv -1 \pmod{5}$$

$$6k \equiv 4 \pmod{5}$$

Так как $$6 \equiv 1 \pmod{5}$$, то

$$k \equiv 4 \pmod{5}$$

Это означает, что k можно представить в виде $$k = 5n + 4$$, где n - целое число.

Теперь подставим это выражение для k в выражение для x:

$$x = 6(5n + 4) + 5$$

$$x = 30n + 24 + 5$$

$$x = 30n + 29$$

Так как x должно быть меньше 50, то:

$$30n + 29 < 50$$

$$30n < 21$$

$$n < \frac{21}{30}$$

$$n < 0.7$$

Единственное целое число n, удовлетворяющее этому неравенству, это n = 0.

Подставим n = 0 в выражение для x:

$$x = 30(0) + 29$$

$$x = 29$$

Проверим:

29 при делении на 6 даёт 4 в целой части и 5 в остатке, так как 29 = 6 * 4 + 5.

29 при делении на 5 даёт 5 в целой части и 4 в остатке, так как 29 = 5 * 5 + 4.

Ответ: 29