Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Обозначим массу первого сплава как \( m_1 \) и массу второго сплава как \( m_2 \).
Общая масса двух сплавов равна 50 кг: \( m_1 + m_2 = 50 \) кг.
В первом сплаве содержится 5 кг золота, а во втором — 6 кг золота.
Пусть \( p_1 \) — процентное содержание золота в первом сплаве, а \( p_2 \) — процентное содержание золота во втором сплаве.
По условию, содержание золота в первом сплаве на 5% больше, чем во втором: \( p_1 = p_2 + 5 \)%.
Содержание золота в первом сплаве: \( p_1 = \frac{5}{m_1} \cdot 100 \)%.
Содержание золота во втором сплаве: \( p_2 = \frac{6}{m_2} \cdot 100 \)%.
Подставим эти выражения в уравнение \( p_1 = p_2 + 5 \):
\( \frac{5}{m_1} \cdot 100 = \frac{6}{m_2} \cdot 100 + 5 \)
У нас есть система из двух уравнений:
- \( m_1 + m_2 = 50 \)
- \( \frac{500}{m_1} = \frac{600}{m_2} + 5 \)
Из первого уравнения выразим \( m_2 \): \( m_2 = 50 - m_1 \).
Подставим во второе уравнение:
\( \frac{500}{m_1} = \frac{600}{50 - m_1} + 5 \)
Приведём к общему знаменателю:
\( \frac{500}{m_1} = \frac{600 + 5(50 - m_1)}{50 - m_1} \)
\( \frac{500}{m_1} = \frac{600 + 250 - 5m_1}{50 - m_1} \)
\( \frac{500}{m_1} = \frac{850 - 5m_1}{50 - m_1} \)
Перемножим крест-накрест:
\( 500(50 - m_1) = m_1(850 - 5m_1) \)
\( 25000 - 500m_1 = 850m_1 - 5m_1^2 \)
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\( 5m_1^2 - 500m_1 - 850m_1 + 25000 = 0 \)
\( 5m_1^2 - 1350m_1 + 25000 = 0 \)
Разделим на 5:
\( m_1^2 - 270m_1 + 5000 = 0 \)
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\( D = b^2 - 4ac = (-270)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5000 = 72900 - 20000 = 52900 \)
\( \sqrt{D} = \sqrt{52900} = 230 \)
Найдём корни:
\( m_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{270 \pm 230}{2} \)
Два возможных значения для \( m_1 \):
\( m_{1,1} = \frac{270 + 230}{2} = \frac{500}{2} = 250 \) кг.
\( m_{1,2} = \frac{270 - 230}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) кг.
Так как общая масса двух сплавов равна 50 кг, то масса первого сплава не может быть 250 кг. Следовательно, масса первого сплава равна 20 кг.
Проверим:
Если \( m_1 = 20 \) кг, то \( m_2 = 50 - 20 = 30 \) кг.
Процент золота в первом сплаве: \( \frac{5}{20} \cdot 100 \)% = \( 0.25 \cdot 100 \)% = 25%.
Процент золота во втором сплаве: \( \frac{6}{30} \cdot 100 \)% = \( 0.2 \cdot 100 \)% = 20%.
Разница составляет 25% - 20% = 5%, что соответствует условию задачи.
Ответ: 20 кг
