Массивная вертикальная гладкая упругая стенка движется по ровной горизонтальной поверхности поступательно с постоянной скоростью u = 2,5 м/с. Вслед ей с этой же поверхности выстреливают маленьким шариком, начальная скорость которого направлена вверх под некоторым углом к горизонту (см. рисунок). В момент выстрела расстояние от шарика до стенки равнялось l0 = 5 м, а к тому моменту, когда шарик ударился о стенку, стенка сдвинулась от положения в момент выстрела на расстояние l = 2,5 м. Известно также, что перед самым ударом шарик летел горизонтально. Найдите модуль начальной скорости шарика. Ускорение свободного падения считайте равным g = 10 м/с². Ответ запишите в м/с, с точностью до десятых.

Решение:

Пусть v₀ - модуль начальной скорости шарика, α - угол между начальной скоростью и горизонтом.

Запишем уравнения движения шарика относительно земли:

• Горизонтальное движение: $$x = v_0 \cos(\alpha) t$$
• Вертикальное движение: $$y = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$$

В момент удара шарика о стенку, вертикальная скорость равна нулю:

$$v_y = v_0 \sin(\alpha) - gt = 0$$

Отсюда найдем время полета до удара:

$$t = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$$

В момент удара шарик летит горизонтально, значит, он достиг максимальной высоты. Расстояние, которое пролетела стенка:

$$l = ut = u \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$$

Тогда:

$$v_0 \sin(\alpha) = \frac{gl}{u} = \frac{10 \cdot 2.5}{2.5} = 10 \text{ м/с}$$

Горизонтальное расстояние, которое пролетел шарик до стенки:

$$l_0 = v_0 \cos(\alpha) t = v_0 \cos(\alpha) \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$$

Тогда:

$$v_0 \cos(\alpha) = \frac{gl_0}{v_0 \sin(\alpha)} = \frac{10 \cdot 5}{10} = 5 \text{ м/с}$$

Теперь мы знаем обе компоненты начальной скорости:

• $$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) = 5 \text{ м/с}$$
• $$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) = 10 \text{ м/с}$$

Найдем модуль начальной скорости:

$$v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \approx 11.2 \text{ м/с}$$

Ответ: 11.2