Мастер и ученик, работая вместе, выполняют заказ за 6 часов. Мастер, работая один, тратит на выполнение заказа на 5 часов меньше, чем ученик. За сколько часов выполнит заказ каждый, работая отдельно?

Краткая запись:

• Совместная работа: 6 часов
• Разница во времени: 5 часов

Пошаговое решение:

• Обозначим время, за которое ученик выполнит заказ, как x часов.
• Тогда время, за которое мастер выполнит заказ, будет x - 5 часов.
• Производительность ученика: \( \frac{1}{x} \) заказа в час.
• Производительность мастера: \( \frac{1}{x-5} \) заказа в час.
• Совместная производительность: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} \) заказа в час.
• По условию задачи, вместе они выполняют заказ за 6 часов, значит, их совместная производительность равна \( \frac{1}{6} \) заказа в час.
• Составим уравнение: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{6} \)
• Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{x-5 + x}{x(x-5)} = \frac{1}{6} \)
• Упростим: \( \frac{2x-5}{x^2-5x} = \frac{1}{6} \)
• Перекрестно умножим: \( 6(2x-5) = x^2-5x \)
• Раскроем скобки: \( 12x - 30 = x^2 - 5x \)
• Перенесем все в одну сторону: \( x^2 - 5x - 12x + 30 = 0 \)
• Получим квадратное уравнение: \( x^2 - 17x + 30 = 0 \)
• Решим квадратное уравнение (через дискриминант или по теореме Виета): \( D = (-17)^2 - 4 · 1 · 30 = 289 - 120 = 169 \)
• \( x_1 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 · 1} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 · 1} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
• Так как время работы мастера (x - 5) должно быть положительным, то \( x \) не может быть равно 2 (так как 2-5 = -3). Следовательно, \( x = 15 \) часов.
• Время работы ученика: \( x = 15 \) часов.
• Время работы мастера: \( x - 5 = 15 - 5 = 10 \) часов.

Ответ: Ученик выполнит заказ за 15 часов, а мастер — за 10 часов.